De Morgen法则在反证法中的应用

孙萍

摘 要： 在数学证明中，有时按常规思路从正面思考难以解决问题，而如果运用反证法，逆向思考，则可以化繁为简，化难为易.对命题结论的正确否定是运用反证法的关键一步，但这并非我们想象的那么简单.本文介绍一个重要的定律——De Morgen法则，它可以帮助我们快速而正确地对原命题进行“反设”.

关键词： 反证法 De Morgen 法则 应用

我们在解数学题的过程中，经常用到这样一种方法：先假定某结论的反面成立，并把这结论的反面成立作为已知条件，再进行正确的逻辑推理，使之导出一个与已知条件、已知公理、定理、法则、已证明为正确的命题等相矛盾的结果，从而肯定原结论成立，使命题获得证明.

例1：已知：a、b、c、d均为实数，且ab=2（c+d），求证：方程x+ax+c=0与方程x+bx+d=0中至少有一个方程有实根.

证明：假定上述两个方程都没有实根

所以已知的两个方程中至少有一个方程有实根.

以上这种方法在数学中被称为反证法.

一、反证法及其在数学证明中的作用

反证法在思维分析和数学证明中有着极其广泛的应用.历史上，英国著名数学家西尔维斯特在他晚年提出的问题：平面上n（n≥3）个已知点不全在一条直线上，证明：总可以找到一条直线，使它只通n过个点中的两个点.这个历经半个世纪都无人解决的难题被一个“无名小卒”用反证法轻而易举地解决了.

从反证法的定义可以看到反证法有如下特征：

1.反证法，开宗明义第一步，总是对所证命题结论的否定，这是反证法区别于其他证明方法最显著的特点之一，没有对命题结论的正确否定，就不是反证法.

2.“对命题结论的否定”，我们通常称之为“反设”，把“反设”作为已知条件，并把此条件运用于推理中，这是反证法的又一特点.反之，如果不以“反设”为已知条件，而是作与“反设”无关的推理，那么这样的证明方法就不能叫做反证法.

由此可以看出，“反设”是应用反证法的第一步，也是重要的一步.只有正确地叙述了一个命题的否命题，反证法的证明才可能是完备的，无懈可击的.

De Morgen法则在叙述一个命题的否命题时有重要的作用.下面我们了解一下什么是De Morgen法则.

二、De Morgen法则及其在反证法中的运用

设有集合族{A}α∈I，我们定义其并集与交集如下：

A={x：？埚α∈I，x∈A}

A={x：？坌α∈I，x∈A}

De Morgen法则是对于集合而言的，设A为一个命题，x∈A表示A对x为真，由上面的定义可看出，如果存在a∈I，使A对x为真，则可用x∈A表示，同样，如果对一切α，A对x为真，可写成x∈A，这样，许多数学命题都可用集合的交集、并集、余集给出.例如：例1的结论用集合语言可表示为{x：x+ax+c=0}∪{x：x+bx+d=0}≠？准，根据De Morgen法则，其否命题应该是{x：x+ax+c=0}∩{x：x+bx+d=0}=R，下面我们看一些较复杂的例子.

例2：叙述数列{a}不收敛

数列{a}收敛的ε-N定义为：

？埚a∈R，？坌ε>0，？埚N∈/N，？坌n>N，

用集合的交集、并集、余集形式把它叙述出来：

用De Morgen法则叙述它的否命题

将它写成ε-N定义：？坌a∈R，？埚ε>0，？坌N∈/N，？埚n>N，|a-a|≥ε

所以数列{a}不收敛的ε-N定义为：

？坌a∈R，？埚ε>0，？坌N∈/N，？埚n>N，|a-a|≥ε

例3：叙述f（x）在x不连续

f（x）在x连续的ε-N定义为：

用集合的交集、并集、余集形式把它叙述出来：

用De Morgen法则叙述它的否命题

将它写成ε-N定义：？埚ε>0，？坌δ>0，？埚x∈R，虽然有

所以f（x）在x不连续ε-N的定义为：？埚ε>0，？坌δ>0，？埚x∈R，虽然有|x-x|<δ，但|f（x）-f（x）|≥ε.

例4：设S={x}为R中的一个数集，叙述S无上界

S有上界的定义为：？埚M∈R，对？坌x∈S，有x≤M

用集合的交集、并集、余集形式把它叙述出来：

{x：x≤M}=S

用De Morgen法则叙述它的否命题

{x：x≤M}≠S=？准

用集合语言把它叙述出来：？坌M∈R，？埚x∈S，使x>M

所以S无上界的定义为？坌M∈R，？埚x∈S，使x>M

例5：设I为全集，叙述f（x）在I上不一致连续

f（x）在I上一致连续的ε-n定义为：

？坌ε>0，？埚δ（ε）>0，？坌x′，x″∈I，|x′-x″|<δ，有|f（x′）-f（x″）|<ε.

用集合的交集、并集、余集形式把它叙述出来：

用De Morgen法则叙述它的否命题

将它写成ε-N定义：

？埚ε>0对？坌δ（ε）>0，？埚x′，x″∈I，虽然有|x′-x″|<δ，但|f（x′）-f（x″）|≥ε.

所以f（x）在I上不一致连续的ε-N定义为：

？埚ε>0对？坌δ（ε）>0，？埚x′，x″∈I，虽然有|x′-x″|<δ，但|f（x′）-f（x″）|≥ε.

例6：利用Cauchy收敛准则叙述数列{a}不收敛

数列{a}收敛：对？坌ε>0，？埚N∈/N，当？坌n，m>N时，有

用集合的交集、并集、余集形式把它叙述出来：

用De Morgen法则叙述它的否命题

将它写成ε-N定义：？埚ε>0，对？坌N∈/N，？埚m，n>N，使

叙述数列{a}不收敛的ε-N定义为：？埚ε>0，对？坌N∈/N，？埚m，n>N，使

由以上几个例子，可以看出De Morgen法则在反证法中的重大作用.在做题需要用到反证法时，运用De Morgen法则可以很方便而且很简洁地写出反设，使人一目了然，尽可能地避免论述语句中的语言陷阱，进而为运用反证法奠定基础.

参考文献：

[1]华东师范大学数学系：高等学校教材《数学分析》第二版（上册）.