用定义法解决圆锥曲线问题在数学中的应用

王蓬

请看例题：例1：如图1，已知椭圆C：■+■=1，左右焦点分别为M、N。点P为椭圆上一点，点H在线段MP的延长线上，且NP=PH，求点H的轨迹。

分析：刚看到这道题目的时候，好多同学可能无从下手，觉得好复杂啊！好多同学的解题思路会是这样的：先假设点P（x，y），因为点M（3，0）、N（-3，0），PM、PN的长度就都能计算出来了，而且直线MP的方程也能计算出来了，这样可以设出点H的坐标，然后利用NP=PH进行化简。可是刚刚做到这里的时候，好多同学就不想再做下去了，因为形式太复杂了。可是我们再好好去分析一下这道题目，因为它是椭圆，既然是椭圆，那么椭圆上任意一个点到M、N的距离之和不是一个定值吗。这样一来思路来了。

例2：如图2，已知点Q为双曲线C：■-■=1上的一个点，G，H为左右焦点，且QG⊥QH，求点Q到x轴的距离。

分析：当我们看到这道题目的时候，大家第一反应是求出点Q的坐标，因为点Q到x轴的距离就是点Q的纵坐标的绝对值，这样一来，我们可以假设点Q（x，y），又G（-5，0）、H（5，0），所以我们可以得出■=（x+5，y），■=（x-5，y），因为QG⊥QH，所以■·■=0，所以（x+5，y），（x-5，y）=0，即x2+y2-25=0。又因为■+■=1，将这两个式子进行联立，就可以解除y，而点Q到x轴的距离便是y。这种方法相当不错的，可是里面运算不是很简便，而且容易出错，尤其是含有平方，运算要相当小心。那么有没有既方法简单又运算简便的思路呢？

点评：当我们看完这道题目的时候，我们会发现这道题目里面用到了双曲线的定义，就是双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为定值，并且解答中采用的方程变形十分巧妙，最后运用了直角三角形面积计算两次的方法，成功得到了点Q到x轴的距离。而开始“分析”中的这种方法比较普遍，而且运算不简单。因此，这道题目充分体现了双曲线定义的数学应用。

例3：如图3，已知抛物线C∶y2=4x，它的焦点为F，准线为l，直线m为y=x+2，点P为抛物线上任意一点，点P到y轴的距离为H1，点P到直线m的距离为H2，求H1+H2的最小值。

分析：当我们刚看到这道题目的时候，会想到，既然点P到y轴的距离为H1，那么点P到准线的距离为H1+1，所以点P到焦点的距离也为H1+1，过点P作PH⊥m于H，最终要求的即为PF+PH-1，因此，只要求出PF+PH的最小值就可以了。

下面，我们就给出这道题目的详细解答过程：

解：由条件的F（1，0），准线l∶x=-1， 将y=x+2代入y2=4x中得：x2+4=0，该方程无解，所以直线m与抛物线C无公共点。因为点P到y轴的距离为H1，所以点P到准线的距离为H1+1，点P到焦点的距离也为H1+1，过点P作PH⊥m于H，所以H1+H2=PF+PH-1。当F、P、H三点共线时，PF+PH的值最小，PF+PH的最小值就是点F（1，0）到直线m的距离。由点到直线距离公式可得：d=■=■=■■，所以H1+H2的最小值为■■-1。

点评：本题中用到的思想方法还是比较多的，而且比较灵活，不大容易想到。首先利用了抛物线的定义，其次在求解PF+PH的最小值的时候，运用了“三角形两边之和大于第三边，直角三角形中斜边大于直角边”这一知识点，最后介入了点到直线距离公式。

（江苏省宜兴市官林中学）