初中数学中的最值问题

毛小霞

求最值问题是常见的题型，没有固定的公式，应结合图形进行分析，灵活地运用各种数学思想、方法和解题技巧，找到解题的途径，达到解决最值问题的目的。下面，本人根据平时的教学，就这个问题中的常见的类型和常用的方法思路列举出来跟大家一起学习。

一、利用对称性

利用轴对称性求最短距离是近几年中考数学中的热点考题，因此成为我们研究的重点。下面，就初中数学中利用轴对称性来解决最值问题作归纳、分析。基本模型：如图1，点A、B分别表示两个居民小区，若直线 L 表示燃气管道，欲在其旁建一个泵站，使从该站向两个小区输气的管道总长最短，应如何确定泵站的位置？请在图中画出。

如图2，作点A 关于直线L 的对称点A'，连接A'B与直线L 交于点C，则点C为求泵站位置。

例1：如图3，已知点P是边长为2的正三角形ABC的中线AD上的动点，E是AC边的中点，则PC+PE的最小值是____。分析与解：根据基本模型，点C、点E是定点，点P是动点，而C点关于直线AD对称点就是B点，连结BE交AD于P'，则PC+PE的最小值为BE的长，而BE是正三角形的高。∵BE= ，∴PC+PE的最小值为 。

例2：如图4，点A是半圆上一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是半径ON上的动点，若圆 O的半径为2，则AP+BP的最小值是____。

图4 图5 图6

分析与解：根据基本模型，先找出其中一个定点关于定直线的对称点，然后该对称点与另一定点的连线与定直线的交点就是所要确定的点，这样问题就解决了。由题意知： ∠AON=60O，∠BON=30O，取点B关于ON的对称点B'则∠B'ON=30O，则AP+BP的最小值为AB'，∵∠AOB'=90O，∴△AOB为等腰直角三角形，∴AB' =2 ，∴AP+BP的最小值2 。

从上面不难看出，利用轴对称性求线段之和的最小值时，常把某些定点进行适当轴对称变换，根据两点之间线段最短或三角形三边的关系，将问题归类，举一反三、触类旁通，问题就迎刃而解了。

二、运用基本不等式a+b≥2 （a，b均为正实数）

常利用基本不等式：a+b≥2 ，ab≤（ ）2，a2+b2≥2ab， + ≥2。

例3：在凸四边形ABCD 中，对角线AC、BD 交于O 点，若

S△OAD = 9，S△OBC = 25，则凸四边形ABCD 面积的最小值是多少？

分析与解法： 如图5，设S△OAB=a，S△OCD=b，因为高相同的两个三角形的面积之比等于底之比， = = ，∴ = ，∴ab=225，∴a+b≥2 =2 =30，∴凸四边形ABCD 面积的最小值是9+25+30=64。

分析与解法二：如图6，作AE⊥BD，CF⊥BD垂足为E、F，设AE=x，CF=y，∵S△OAD=9，S△OBC=25，∴ OD·x=9， OB·y=25，∴ OD= ， OB= ，S△OAB+S△OCD= OB·x+ OD·y≥2 =30，∴凸四边形ABCD 面积的最小值是9+25+30=64。

上面例题中的两种解法虽说设法不同，但都离不开基本不等式a+b≥2 的应用。

三、利用圆中弦心距的性质

经过一点的弦中，弦心距越大，弦长越小，弓形面积越小；弦心距越小，弦长越大，弓形面积越大。求弓形面积的最值。

例4：如图7，在半径为2的圆中，圆内的一点P到圆心O的距离为1，过P点的弦AB与劣弧AB 组成弓形面积的最小值为多少？

分析与解：作OQ⊥AB垂足为Q，若点Q与点P不重合，连接OP， 过点P作弦A'B'⊥OP，在Rt△OQP中，弦心距OQ

四、利用一元二次方程的根的判别式

在求与一元二次方程有关的问题时，常利用一元二次方程根的判别式求最值。下面举例分析：

例5：实数x，y满足x2-2x-4y=5，则x-3y的最大值是多少？

分析与解：设t=x-3y得y= ，代入x2-2x-4y=5中有x2-2x-

4× =5， 整理有：3x2-10x+4t-15=0。∵方程3x2-10x+4t-15=0有实数根，∴△=102-4×3×（4t-15）≥0，∴t≤ ，即t=x-3y的最大值为 。

在代数中利用一元二次方程的判别式求最值是初中数学常用的方法，化成所含未知数的一元二次方程，用判别式来求是解决这类问题的基本思路。

以上是求最值问题的一些心得，与大家一起学习。最值问题充分体现了数学的严谨性和逻辑思维性，通过对称性、不等式、弓形中的弦心距、一元二次方程中根的判别式等特征的认识，能让学生开拓思维，提高分析能力，找到适当的切入点，激发他们对探索数学的向往和追求。

（江苏省苏州市吴江区松陵第一中学校）