加权Bergman空间上的Rudin正交性问题

郑桃霞，徐宪民

（1．浙江师范大学 数理与信息工程学院，浙江金华321004；2．嘉兴学院 数学研究所，浙江嘉兴314001）

本文将参照文献 ［5］中的方法，利用单位圆盘上解析自映射的广义Nevanlinna计数函数，对加权Bergman空间（D）上的Rudin问题进行研究．

1 相关概念及基本符号

记C为复平面，C中开单位圆盘为D＝ ｛z：z∈C｝．dA表示开单位圆盘D的规范面积测度，即dA（z）＝drdθ，其中z＝reiθ．

显然，当p＝2时，加权Bergman空间Aα2是Hilbert空间．

定义2 对解析函数φ：D→D，定义φ的诱导测度μφ：

因此，dλφ为单位圆盘D上的有限测度．

则称μ是径向的．

如果函数f （reiθ）与θ无关，则称函数f是本性径向的．

2 引理

令u＝rw，dA （u）＝sdsdθ，则有：

引理3［5］57设φ1，φ2，…，φm是 D上的解析函数，若是径向的，则每个φk都是z的多项式．

3 主要结论

成立．

综上可知，当n≠m时，有

由上述 （b）⇒（a）证明过程可知，当n≠m时，有：

假设φ（0）＝0，由littlewood不等式：［7］

对w∈φ（D）且w≠0，有

设λ0＝0，于是有

从而有

［1］PAUL S BOURDON．Rudin’s orthogonality problem and the Nevanlinna counting functions［J］．Proceedings of the American Mathmatical Society，1997（125）：1187－1192．

［2］CARL SUNDBERG．Measure induced by analytic functions and a problem of Walter Rudin［J］．Journal of the American mathematical society，2002（16）：69－90．

［3］CHRISTOPHER J BISHOP．Orthogonal functions in H∞［M］．Pacific Journal of．Mathematics，2005（220）：1－31．

［4］GERARDO A．CHACON，JOSE GIMENEZ．Composition Operators on the Dirichlet space and related problems［J］．Boletin de la Asociacion Matematica Venezolana．，2006 （2）：155－164．

［5］KUNYU GUO，DECHAO ZHENG．Rudin orthogonality problem on the Bergman space［J］．Journal of Functional Analysis，2011（261）：51－68．

［6］KEHE ZHU．Theory of Bergman spaces［M］．New York：Springer－Verlag，2000．

［7］徐宪民．复合算子理论 ［M］．北京：科学出版社，1999：108．

［8］WALTER RUDIN．Real and complex analysis，2nd edition［M］．New York：McGraw－Hill，1974：336．