浅谈数学知识在解物理习题中的运用

苏巧红

摘 要：数学和物理密切相关，在解决物理问题的过程中经常要运用到数学知识。从解物理习题的角度介绍数学知识在物理学中运用的几个例子。

关键词：数学知识；排列组合；二次函数；均值不等式

高考物理的《考试说明》中对学生的能力要求有五个方面，其中第四方面即为应用数学方法处理物理问题的能力。灵活运用数学方法处理物理问题是物理试题的一大特色。一部分人感觉物理难，其中一点就在于数理结合运用不好。因此我们要善于总结中学物理涉及初等数学的主要知识点，以提高运用水平。本文从解物理习题的角度介绍数学知识在物理学中运用的几个例子。

一、利用排列组合知识，解能级跃迁与光谱线问题

例1.一群大量氢原子处在第四轨道，当氢原子在这些能级间跃迁时，共能放出几种能量的光子？

解析：原子跃迁可能出现在任意两条轨道之间，因而应有C24 条亮线，即C24=6条。

二、利用二次函数知识，解极值问题

研究物理学中的极值、最值问题，首先要得到一个函数式，然后，才能利用这个函数式进行推算，运用二次函数的知识求解。

例2.电源电动势为E，内阻为r，外电阻为R，求外电路电阻R为多大时，电源的输出功率为最大？最大值为多少？

解析：电流输出功率就是电源向外电路R提供电能的功率。根据P=I2R可知，为了研究P和R的关系，将等式右边化成单一变量。因为I=■，所以P=I2R=■R，其中E，r为常量，电阻R是自变量，输出功率P是R的函数。这个函数式是一个分式函数。我们可以用配方法来解出极值。

P=■R=■，当R=r时P取得最大值，最大值为Pmax=■

三、利用均值不等式知识，解极值问题

均值不等式：对于n个正数a1，a2…an它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即■≥■当且仅当a1=a2=…an时，等号成立。

一般地，从均值不等式可以得到以下结论：对若干个正数，如果它们的和是定值，则当且仅当这若干个正数相等时，它们的积取最大值。

例3.電量为Q，分配给两个相距为R的质点，使之成为两个带电体Q1和Q2，则当电量如何分配时，两个带电体之间的库仑力最大？

解析：根据库仑定律F=■，依题意可知电量Q1+Q2=Q（定值），当Q1=Q2=■时，库伦力F取最大值。

四、利用函数y=kx+b图象，解一些力学、电学问题

函数y=kx+b，斜率为k，截距为b，它的图象是一条直线。利用它可以很方便地解决一些力学、电学问题。

例4.（2011·重庆高考）某同学设计了如下图所示的装置，利用米尺、秒表、轻绳、轻滑轮、轨道、滑块、托盘和砝码等器材来测定滑块和轨道间的动摩擦因数μ。滑块和托盘上分别放有若干砝码，滑块质量为m1，滑块上砝码总质量为m′，托盘和盘中砝码的总质量为m。实验中，滑块在水平轨道上从A到B做初速为零的匀加速直线运动，重力加速度g取10 m/s2。

■

（1）为测量滑块的加速度a，须测出它在A、B间运动的________与________，计算a的运动学公式是________；

（2）根据牛顿运动定律得到a与m的关系为：a=■-μg

他想通过多次改变m，测出相应的a值，并利用上式来计算μ。若要求a是m的一次函数，必须使上式中的________保持不变，实验中应将从托盘中取出的砝码置于________；

（3）实验得到a与m的关系如下图所示，由此可知μ＝ （取两位有效数字）。

■

解析：（1）由s=■at2，得a=■，可见要测出滑块在A、B间的位移s和运动时间t。

（2）a=■m-μg与数学中的一次函数y=kx+b类比， a是m的一次函数，■m就相当于图象的斜率。为了保证图象的斜率不变，必须使m＋m′保持不变，这就要求实验中从托盘中取出的砝码置于滑块上。

（3）由a=■m-μg得a+μg=■m。取a1=0.23 m/s2，m1=0.064 kg；a2=0.39 m/s2，m2=0.068 kg。则■=■，解得μ=0.23。

五、利用几何知识，解带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的问题

解决带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动这类问题，关键是在分析粒子所受洛伦兹力基础上，画出带电粒子做圆周运动的轨迹和圆心位置，再由几何知识求出半径和与轨迹对应的圆心角，利用半径公式和周期公式求解有关问题。

例5.（高考题）在以坐标原点O为圆心，r为半径的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示，一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿-x方向射入磁场，恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿+y方向飞出。

（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷；

（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B′和此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？

解析：（1）如图所示，从粒子的飞行轨迹，利用左手定则可知，该粒子带负电荷。粒子由A点射入。由C点飞出，其速度方向改变了90°，则粒子轨迹半径R1=r。

根据牛顿第二定律有qvB=m■，■=■。

（2）粒子从D点飞出磁场，速度方向改变了60°角，故AD弧对圆心角为60°，粒子做圆周运动的半径R2=■＝■r，R2=■，B′＝■B，粒子在磁场中飞行时间t=■T=■=■。

数学知识在解物理习题中的运用，除了上面举的几个例子外，三角函数、微分、比例、图象等这些数学知识也经常会用到。数学知识已渗透到物理问题的方方面面，因此，在学习中应善于利用有关的数学知识解决物理问题，以培养自己正确分析物理过程和运用数学工具解决物理问题的能力。

参考文献：

［１］张士军．利用均值不等式求解物理极值问题．教师，2009（6）．

［2］杨息祥．物理学中极值问题的应用．考试周刊，2012（64）．

编辑 李建军