二阶椭圆最优控制问题数值解的抽象误差估计式

罗贤兵

摘 要：本文利用变分离散技巧对二阶椭圆最优控制问题的数值近似得出了抽象误差估计，该抽象误差估计将最优控制（状态、协态、控制变量）的误差估计转化为二阶椭圆边值问题数值近似的误差估计。最后给出了一个数值例子，分别用协调有限元法，非协调有限元法，混合有限元法来求解这个数值例子。

关键词：椭圆最优控制问题 变分离散 误差估计

1.引言

在企业及管理中， 会遇到一些最优控制问题， 而求出其准确解几乎不可能， 因此数值近似是最优控制问题得以应用的关键. 本文考虑如下的最优控制问题：

minu∈Uad12‖y-yd‖2L2（Ω）+v2‖u‖2L2（Ω）

-Δy=u+f，在Ω里

y=0，在Ω的边界Γ上，

（1）

其中Ω∈R2为有界凸多角形区域，Uad={u∈L2（Ω）：在Ω上几乎处处a≤u（x）≤b，a

-Δy=u+f，在Ω里，y=0，在Γ上，

-Δpy-yd，在Ω里，p=0，在Γ上，

（vu+p，v-u）≥0，任意v∈Uad.

（2）

设V为一Hilbert空间，定义解算子S：u+f∈L2→y∈及对偶解算子S*：y-yd∈L2→p∈V，则（2）可写成：求（u，y，p）∈Uad×V×V， 使得

y=S（u+f）

p=S*（y-yd）

（vu+S*（y-yd），v-u）≥0，任意v∈Uad

（3）

设Vh为一有限维空间，定义解算子Sh：uh+f∈L2→y∈Vh及对偶解算子S*h：yh-yd∈L2→ph∈Vh， 则（3）可以用如下问题来近似. 求（uh，yh，ph）∈Uad×Vh×Vh， 使得

yh=Sh（uh+f）

ph=S*h（yh-yd）

（vuh+S*h（yh-yd），v-uh）≥0，任意v∈Uad

（4）

2.抽象误差估计

以下将得出誤差估计， 为简洁，将‖·‖L2（Ω）简记为‖·‖， 将‖·‖L∞（Ω）简记为‖·‖∞. 关于准确解（u，y，p）及近似解（uh，yh，ph）有以下结论.

定理1 设S，S*，Sh，S*h为前述定义的线性有界算子， f，yd∈L2（Ω）为已知， 则存在与h无关的正常数C（不同的地方取值相同）使得

‖u-uh‖≤Cv{‖（S-Sh）（u+f）‖+‖（S*-S*h）（u+f）‖+‖（S*-S*h）（yd）‖+‖（S*-S-h）（Sh-S）（u+f）‖

（5）

‖y-yh‖≤‖（S-Sh）（u+f）‖+‖（Sh-S）（u-uh）‖+C‖u-uh‖

（6）

‖p-ph‖≤‖（S*-S*h）（y-yd）‖+‖（S*h-S*）（y-yh）‖+C‖y-yh‖

（7）

证明： 在（3）的变分不等式中取v=uh， 在（4）的变分不等式中取v=u得

（vu+S*（S（u+f）-yd），uh-u）≥0

（vub+S*h（Sh（uh+f）-yd），u-uh）≥0

上两式相加， 并注意到（u-uh，u-uh）=‖u-uh‖2可得

v‖u-un‖2+‖Sh（uh-u）‖2≤（（S*S-S*hSh）（u+f），uh-u）+（（S*h-S*）（yd），uh-u）

对于上述不等式右端的第一项有

（（S*S-S*hSh）（u+f），uh-u）=（（S-Sh）（u+f），S（uh-u））+（（S*-S*h）（S（u+f）），uh-u）+（（S*-S*h）（Sh-S）（u+f），uh-u）

将此式代入上式利用Cauchy不等式可得（5）式. 由于

y-yh=（S-Sh）（u+f）+（Sh-S）（u-uh）+S（u-uh）

利用三角不等式和算子S的有界性便可得到（6）式. 类似可得

p-ph=（S*S*h）（y-yd）+（S*h-S*）（y-yh）+S*（y-yh）

利用三角不等式和算子S*的有界性便可得到（7）式. 证毕

注： （1）算子（S-Sh）（f）表示某种数值方法的误差， ‖（S-Sh）（f）表示某种数值方法的L2（Ω）误差.

（2）若Vh为线性协调有限元空间（见[2]）， 则‖（S-Sh）（f）‖=O（h2），‖（S*-S*h）（f）‖=O（h2）， 根据定理1可得‖u-uh）‖=O（h2），‖y-yh‖=O（h2），‖y-yh‖=O（h2）.

（3）若Vh为线性非协调协调有限元空间， 则‖（S-Sh）（f）‖=O（h2），‖（S*-S*h）（f）‖=O（h2），根据定理1可得‖u-uh‖=O（h2），‖y-yh）‖=O（h2），‖y-yh‖=O（h2）.

（4） 若Vh取为最低阶Raviart-Thomas混合有限元空间，则‖（S-Sh）（f）‖=O（h），‖（S*-S*h（f）‖=O（h），根据定理1可得‖u-uh‖O（h），‖y-yh‖=O（h），‖y-yh‖=O（h）.

3.数值例子

从文献[3]选取一个数值例子， 取f（x）=0，Ω={（x1，x2）|0≤x1≤1，0≤x2≤1}. 此时状态变量的准确值为

y（x）=sin（πx1）sin（πx2）-yg

其中yg为问题 “-Δyg=g，在Ω里；yg=0，在Ω的边界Γ上的解”，函数g定义如下

g（x）=g（x1，x2）=uf-a，若uf

0，若a≤uf≤b，

uf-b，若uf>b.

其中uf=2π2sin（πx1）sin（πx2）.，yd=（4π4+1）sin（πx1）sin（πx2）-yg，p=-uf，a=3，b=15，u=max（a，min（b，p），

计算结果见下图1和图2中

图1 左端为协调有限元计算结果的收敛阶，右图为非协调

有限元（最低阶C-R元）计算结果的收敛阶.

图2 最低阶Raviart-Thomas混合元计算结果的收敛阶从图中可以看出， 对控制、状态、协态变量的协调非调有限元近似的收敛阶都为， 最低阶混和有限元近似收敛阶为. 该数值例子与理论相符.

文中的结果告诉我们， 在最优性条件的基础上，可以用不同的数值方法求解状态方程和协态方程，并且收敛速度就是该方法的收敛速度. 此结果对企业及管理中遇到的控制问题的应用有很好的参考价值。

参考文献：

[1]J.L. Lions， Optimal Control of Systems Governed by Partial Differential Equations， Springer- Verlag， Berlin， 1971.

[2]S.C. Brenner and L.R. Scott， The mathematical theory of finite element methods， Springer-Verlag， New York， 1994.

[3]C. Meyer and A. R？sch， Super-convergence properties of optimal control problems， SIAM Journal on Control and Optimization， Vol.43， No.3， 2004， 970-985.

基金项目：贵州省科技厅项目资助（黔科合[2011]2098）