二重积分在储油罐发生变位时的储油模型中的应用

2014-05-30 02:53黄春妙汪继秀
科教导刊 2014年7期
关键词:最小二乘法数值分析曲线拟合

黄春妙 汪继秀

摘 要 本文主要利用二重积分求立体体积的方法解决如下问题:当储油罐发生变位时,油位高度和储油量的变化关系。可建立如下模型:当罐体发生纵向位倾斜角时(以 = 4.1拔枚鼗炙愠龃⒂土康奶寤齎与油位高度的函数表达式,由函数表达式画出函数图像,由图像进行最小二乘法拟合,得到如下模型: = -1.0923023 + 4.9804020 9.0757017 + 8.12020143.21390113.4521009 + 1.00440050.00032896 + 0.0084474根据模型可得到罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

关键词 最小二乘法 二重积分 曲线拟合 数值分析 matlab

中图分类号:O13 文献标识码:A

许多储油罐在使用一段时间后,由于地基变形等原因,使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化(以下称为变位),从而导致罐容表发生改变。按照有关规定,需要定期对罐容表进行重新标定。为了掌握罐体变位后对罐容表的影响,利用图1的小椭圆型储油罐(两端平头的椭圆柱体),当罐体发生倾斜角为 = 4.1暗淖菹虮湮皇保⑹P脱芯抗尢灞湮缓蠖怨奕荼淼挠跋臁2⒏龉尢灞湮缓笥臀桓叨燃涓粑?cm的罐容表标定值。

首先建立空间直角坐标系,如图2所示,以探油针所在直线为轴,过探针与油桶的底部交点,利用椭圆柱的直母线作轴,再以交点作原点建立三维空间笛卡尔直角坐标系。

根据图2建立椭圆柱面的方程为: + = 1其中 = 0.89, = 0.6。

当桶内有油时,油面与水平面是平行的,当桶发生生变位时,油面与平面成角。当油针所在位置为油高时,油面可建立平面的方程为:

+ + + = 0(≠0),

由方程可知该平面过点(0,0,)和点(0,,0)且与面( = 0)的夹角为,可建立方程:

整理上述方程组(1)得

解方程组(2)得 = 0。

所以平面方程为:

+ = 0即 = + = 0。

若平面经过原点,则平面方程为:

+ = 0即 = - 0。

油平面截椭圆柱面所得下半部分的体积,利用二重积分可将体积表示如下:

(1)当油还没有到达探针底部时 = 0, 0≤≤,

= 2,其中 = {()∣-0.4≤≤0,0≤≤- }

经计算 = 0.001674,此时罐储油量0≤≤ = 0.001674。

这时油面油位探针显示的示数是0。

(a)小椭圆油罐正面示意图

(b)小椭圆油罐截面示意图

图1 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图

图2

(2)当油面高过探针底部到油面到达另一端底部时,0<≤2.05

= 2, = {()∣-0.4≤≤,0≤≤ }。

求解得:

= 11.7 + 0.2759[259.0) + 4.47 + 4.47 (1.6670.9522)祝?.6670.9522)6.686

(3)油面达到另一端底部到前一段顶部时,2.05<≤1.20.4

= 2, = {()∣-0.4≤≤2.05,0≤≤ }。

运行的结果:

(4)油面达到前一段顶部到探针顶部时,1.20.4<<1.2, = +

= (0.4)

= 2, = {()∣-(0.4)≤≤2.05,0≤≤ }。

结果: = 35.110.2759[259.0) + 0.2759[25.09] + 4.47(3.3332.952)4.47(1.6671.245)(1.6671.245) + 4.474.4739.4

(5)当 = 1.2时,3.98 = (1.2)≤≤

利用最小二乘法拟合函数得:

= -1.0923023 + 4.9804020 9.0757017 + 8.12020143.21390113.4521009 + 1.0044005 0.00032896 + 0.0084474。

利用拟合函数可得罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值的表格(省略)。

本模型的最大优点是巧妙地运用初等数学知识建立数学模型,并通过利用数学工具和Matlab编程的方法,严格地对模型求解,具有科学性。建立的模型能与实际紧密联系,结合实际情况对所提出的问题进行求解,使模型更贴近实际,通用性、推广性较强。由于该模型是通过分类讨论,在微积分与立体几何相结合的基础上建立的,因此计算结果与实际比较接近,实用性比较强,同时这种思想也能推广到其他形状的图形的体积计算中去,服务于各种图形的求解及其测量。

基金项目:广西高等学校特色专业及课程一体化建设项目(GXTSZY2220)《数学与应用数学》;河池学院重点学科《应用数学》(2007)和《统计学》(2013),新世纪教改工程2011年项目(2011JGB321),2011年度广西教育厅科研项目—立项项目(201106LX583),2011年度院级青年科研立项A类项目(2011A-N009),湖北省教育厅科研计划项目(Q20122504)

参考文献

[1] 刘卫国.MATLAB程序设计与应用(第二版).北京:高等教育出版社,2006.

[2] 吴建国等.数学建模案例精编.北京:中国水利水电出版社,2005.

[3] 王冬琳.数学建模及实验.北京:国防工业出版社,2004.

[4] 华东师范大学数学系.数学分析(第三版).北京:高等教育出版社,2001.

[5] 冯杰等.数学建模原理与案例.北京:科学出版社,2007.

[6] 陈汝栋等.数学模型与数学建模.北京:国防工业出版社,2006.

[7] 李志林.数学建模及典型案例分析.北京:化学工业出版社,2007.

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