数学猜想在数学教学运用中的几种形式

林毓亮

摘 要：数学既要教证明，又要教猜想，将猜想引入数学教学之中，将有助于学生开阔视野、活跃思维、培养创新意识、促进能力的提高，虽然数学猜想是一种直觉判断，但绝不是盲目乱猜，要猜得准，就要总结猜想方法，提高猜想能力。

关键词：猜想方法 猜想能力 活跃思维

牛顿有句名言：“没有大胆的猜想，就不可能有伟大的发明和发现。”猜想是人们依据已知事实和知识，对研究的问题和对象作出的一种预测性的判断，数学猜想是学生不断认识数学知识结构，完善知识系统，形成知识板块的一种学习方法，又是解决数学问题、简缩思维、优化解答的一种思想方法，它是一种极具创造性的思维活动。著名数学教育家波利亚也认为，要想成为一个好的数学家，首先必须是一个好的猜想家。并提出：“在数学教学中必须有猜想的地位”。

因此，教师不仅要鼓励学生进行大胆猜想，使学生养成敢于猜想、勇于探索的思维习惯，更要教给他们一些猜想的规律和方法，使它们的猜想，猜之有“理”，猜之有“据”。

在数学解题中运用猜想对我们探索解题思路、开发智力，培养创造能力具有重要的意义。在探索数学解题过程中，主要有下列一些猜想形式：

1.归纳性猜想

归纳猜想是指运用归纳法，对研究对象或问题从一定数量的个例、特性上进行观察分析，从而得出有关命题的形式、结论和方法的猜想。在中學数学中利用这种猜想，可发现和解决某些一般性的问题，其思维模式是：试验—归纳—猜想.。

例1 已知数列，8·112·32，8·232·52。…8n（2n-1）2（2n+1）2。…求前n项和Sn.

解 先计算S1、S2、S3、S4得 S1=89，S2=89+169.25=2425，S3=2425+2425.49=4849，S4=4849+3249.81=8081.于是猜想得：Sn=（2n+1）2-1（2n+1）2.最后用数学归纳法证明这个猜想.

证明 对n用数学归纳法.

（1）当n=1时，S1=（2×1+1）2-1（2×1+1）2=89=a1命题成立.

（2）假设n=k时命题成立，即Sk=（2k+1）2-1（2k+1）2.

则当n=k+1时，∵ak+1=8（k+1）[2（k+1）-1]2[2（k+1）+1]2=8k+8（2k+1）2（2k+3）2

∴Sk+1=Sk+ak+1=（2k+1）2-1（2k+1）2+8k+8（2k+1）2（2k+3）2=[（2k+1）2-1]（2k+3）2+8k+8（2k+1）2（2k+3）2

=（4k2+4k+1）（4k2+12k+8）（2k+1）2（2k+3）2=（2k+1）2（4k2+12k+8）（2k+1）2（2k+3）2=（2k+3）2-1（2k+3）3

=[2（k+1）+1]2-1[2（k+1）+1]2.即当n=k+1时命题也成立.

∴对任意n∈N都有Sn=（2n+1）2-1（2n+1）2.

猜想在本题中起了很重要的作用，真正的学习存在于发现或解决问题的过程，通过对问题的观察、猜想、论证的应用，可以达到发展智力和提高解决问题能力的目的。

2.类比性猜想

类比猜想是指运用类比的方法，比较两个对象或问题的相似性，得出数学新命题或新方法的猜想.在中学教学中，用类比猜想，可由两个命题中条件的相似，去猜想结论的相似；也可由两个命题条件结论的相似，去猜想推论方法的相似；还可由两个概念的相似，去猜想解题思路的相似.其思维的一般方式是：类比—联想—猜想。

例2 求和cosx+2cos2x+3cos3x+…+ncosnx.

分析 注意到（sinx+sin2x+sin3x+…+sinnx）

=cosx+2cos2x+3cos3x+…+ncosnx.而sinx+sin2x+…sinnx可以与11·2+12·3+…+1n（n+1）=（1-12）+（12-13+…+（1n-1n+1）=1-1n+1相类比，由此作出猜想：设法把中的每一项也拆成两项之差，正负项相消，问题可望得解.

解 设S=nk=1sin kx.两边同乘以2sinx2得

2S·sinx2=nk=12sin x2·sin kx=nk=1（cos2k-12x-cos2k+12x）

=cosx2-cos2n+12x=2sinnx2sinn+12x.从而S=sinnx2sinn+12xsinx2

对S求导可得下面结论.原式

=n（n+1）2，x=2kπ（k∈Z）

（n+1）cosnx-ncos（n+1）x-14sin2x2，x≠2kπ（k∈Z）

说明 很多问题，只要能抓住特点，通过直觉想象和判断，大胆猜想，就能发现解题的方向和途径。正如德国数学家康德所指出的：“每当理智缺乏可靠论证时，类比这个方法往往能指引我们前进。”恰当地运用类比猜想，可以巧妙地解决一些问题。

3.探索性猜想

探索猜想是指思维的主体依据已有的知识经验，对研究的对象或问题作出逼近结论的方向性的猜想，并从此猜想出发，进行推理，若推理过程产生矛盾，则猜想错误，需重新猜想，通过多次探索修改，逐步增强其可靠性或合理性，中学数学中多被用来探求问题结论或解题方向。其思维模式是：猜想—修正—猜想。

例3 已知1a+1b+1c，abc≠0，求证1a3+1b3+1c3=1（a+b+c）3.

分析 本题的关键在于利用已知条件，而其中a、b、c是抽象的字母，为此，不妨用具体的数字来代替.

令a=1，b=2，则11+12+1c=11+2+c，得c=-1，-2.令a=3，b=4，则可得c=-3，-4.由此产生猜想：满足已知条件1a+1b+1c=1a+b+c（abc≠0）的a、b、c中，至少两个互为相反数.同时，上述试验还给我们提供了猜想的方法是：把a、b看做已知数，解关于c的方1a+1b+1c=1a+b+c。可得c=-a或-b.此时不仅猜想被证实，整个题目也因猜想的证实而迎刃而解.更重要的是：在题设的条件下，要证的等式可推广为：1a2n+1+1b2n+1+1c2n+1=1（a+b+c）2n+1（n∈N）.

4.结论

以上几种是中学数学教学中最常用的猜想，综上诸例，我们足以看出，猜想是解题过程中经常需要的一种想象形式，它对于学生深层次挖掘教材，激发学习兴趣，拓展解题思路，获取数学知识，培养直觉思维和创造思维至关重要。引导学生探索、猜想，是培养学生数学素养，数学思想方法的一条有效途径，是培养创造性思维和创新意识的重要手段。因此，我们在教学中应经常鼓励学生去大胆地猜想结论、猜想规律，大胆地猜想解法，然后再去验证，使学生在不断地猜想和验证过程中，掌握和丰富数学知识。

当然，猜想也有局限性，特别是低年级学生，容易不加思索地乱猜，这就需要教师正确地引导，逐步培养他们在大胆猜想的同时，养成验证的习惯。所以，在教学中还必须让学生明确以下两点：第一，这些猜想有时是不能截然划分的；第二，数学猜想的结果不一定是正确的，它的正确性要经过逻辑论证。

总之，掌握数学猜想的规律和方法是数学教学中应予以加强的一项重要工作，它不仅可以提高学生的理解力，更有助于学生思维的发展和创造能力的提高。

参考文献：

[1]殷堰工编.数学解题策略精编.上海科技教育出版社，1994.

[2]郑毓信.数学方法论.广西教育出版社，1996.

[3]过伯祥.数学方法论稿.上海教育出版社，1996.

[4]刘明祥.探索解题 猜想指路.数学教学通信，2001，（5）.

[5]祝宁.谈中学数学的猜想，数学教学研究，2002，（3）.

[6]傅世球，谭雪梅.类比、联想、猜想及其数学创造.数学教学研究，2002，（4）.