利用导数解决一些函数问题

邓格

摘 要：随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时不可缺少的工具。有关导数在高中数学中的应用主要类型有：求极限、求函数的切线、判断函数的单调性、求函数的极值和最值、利用函数的单调性证明不等式、求参数范围、解决实际问题等，这些类型成为近两年最闪亮的热点，是高中数学学习的重点之一。下面通过例题谈谈怎样利用导数解决一些函数问题。

关键词：导数；函数问题；应用类型

类型一：利用导数求函数的切线

例1.求曲线y=x3-2x2+1过点p（2，1）的切线方程.

解：（1）切点为p点时，由x=2时y′=4可得切线方程为4x-y+7=0

（2）切点不是点p时，设为p0（x0，y0），则有y-1=（3x20-4x0）（x-2）

又因为切点是曲线上的点，所以有y0=x30-2x20+1.

可以求出x0=0，2，其中x0=2是切点为p的情况，所以x0=0.

求得切线方程为y=1.

这是一类易错题型，很容易忽略切点不是p点的情况，解题时需要注意，“求在点p处的切线”和“求过点的切线”二者的不同。

类型二：利用导数判断函数的单调性

例2.求函数y=2x3-4x2+2x的单调区间。

解：y′=6x2-8x+2，由y′>0得6x2-8x+2>0，解得x<■或x>1.

由y′<0得6x2-8x+2<0，解得■

故所求单调增区间为（-∞，■），（1，+∞），单调减区间为（1，■）.

利用导数判断函数单调性的步骤是：

（1）确定f（x）的定义域；

（2）求导数f′（x）；

（3）在函数f（x）的定义域内解不等式f′（x）>0和f′（x）<0；

（4）确定f（x）的单调区间。若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论。

函数的单调性是函数的一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。

类型三：利用导数求函数的极值、最值

例3.求函数f（x）=x3-27x的极值.

解：由f′（x）=3x2-27=0，解得x=3或x=-3.

当x变化时，y′、y的变化情况如下：

■

当x=-3时，y有极大值f（-3）=-54，当x=3时，y有极小值f（3）=

-54.

求可导函数极值的步骤是：

（1）确定函数定义域，求导数f′（x）；

（2）求f′（x）=0的所有实数根；

（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根（如x0）的左右侧，导函数f′（x）的符号如何变化，如果f′（x）的符號由正变负，则f（x0）是极大值；如果f′（x）的符号由负变正，则f（x0）是极小值。求出极值后再将极值与端点值进行比较，就可以得到最值了。

在一些不等式的证明和解不等式问题中，只要在解题过程中需要用到函数的单调性或最值，我们也都可以用导数作工具来解决。另外，导数在实际生活中也有一些应用，比如与几何有关的最值问题、与利润及其成本有关的最值问题还有效率最值问题等，这些问题最终都可以转化为求函数的最值问题。在利用导数解决函数问题的过程中，只要加强对基础知识的理解，重视数学思想方法的应用，就能够很好地掌握这个工具，帮助我们解决问题，也为今后的高等数学的学习打下基础。

（作者单位 湖北省孝感一中）

？誗编辑 马燕萍