等差数列求和方法讲解初探

张华成

在高中数学的教学中，等差数列作为有通项公式而且应用很广泛的数列之一来说，对整个高中数学的教学有着很重要的作用。而数学学习的很重要的一点就在于应用。如何使学生熟练掌握和使用等差数列求和的公式去解决学习中和生活中所遇到的问题，对于培养学生的数学能力有着举足轻重的作用。在这方面，教师要对学生施以恰当的引导，培养学生的数理逻辑能力，养成用数学科学角度思考问题的习惯，最终使学生能够独立自主地去解决相应的问题。但是说起来容易做起来难，在实际的教学活动中，学生往往在处理等差数列求和问题的时候面临诸多困难，不能很好地运用自己所学的知识去解决实际中的问题。作为老师，要达到上述的目的，就需要在以下几个方面多下功夫：

第一，培养学生敏锐的观察力，让学生能够洞察问题的本质所在，能够建立起相应的数学模型，将简单个例普遍化。例如，在人教版高中数学必修五的第49页给出了一道例题——2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？ 面对这样一段文字比较冗长的材料，首先考验的就是学生对于材料信息的整合和提取能力，教师应当引导学生透过繁琐的文字表达去发现题目的本质所在，找到关键意思，然后理清楚思路。“计划每年投入的资金都比上一年增加50万元”这句话就表明了所有的投资数额组成了一个公差为50的等差数列，而题目的要求本质上是要求出这个数列的前10项之和。这样一来，审清了题意，便很方便展开具体的解题过程了。

第二，锻炼学生理论联系实际的能力，即在审清楚题意的基础上，能够准确将题目考查的知识点与自身的知识体系相互交叉对比，并快速做出反应，对应到直接相关的知识点上。例如，对上述问题的目的要求了解清楚之后，便要将当前的具体问题与学生所学联系起来。在学生的知识体系里面，关于等差数列求和的公式是经老师讲授过的，如何把当前的问题与所学的公式相互联系起来才是真正考查学生的时刻。根据题目不难发现，在这个等差数列里面首项a1为500万，公差d为50万，项数n为10的等差数列，而现在要做的是把这些相关数字代入到等差数列的求和公式中去，这样根据各信息就可以轻松得出结论应该为7250万元。换句话讲，在针对具体题目解决问题的时候，其实就是提供一个机会，让学生可以把自己所学的书本上的知识变成学生自身知识体系的一部分，把生活中所遇到的相关问题符号化，从单纯个案中可以抽象出更具有普遍性的符号替代各部分的组织关系。针对这道题目，就是把文字材料中的具体数字以及各数字之间的关系和课本上所习得的求和公式之间互相替代。这样Sn=na1+n（n-1）12d。一方面学生自身的知识体系得到了完善，另一方面，学生在面对不同题目的时候，可以很游刃有余地从题目中抽象出具有普遍性的东西，很大程度上是对学生个人数学能力的一个提升。

第三，教育学生养成验算的习惯，在做完题目之后，把得出的答案重新代入到题目中，看看是不是符合题目条件，也即通过验证来确定自身答案的准确性，例如，上述题目最终得出的结果为7250万元，将此答案重新再代入到题目当中，根据题目的上下意思，不难看出，这个答案与题目本身的描述并无任何冲突，因而表明此答案为正确答案。一旦得出的结论和题目本身的表述上存在冲突的话，那就表明该答案不是题目的正确答案，需要学生再次回到前两个部分，再重新完成题目的解答过程。

第四，教师必须在讲授的过程中要注意函数思想在解决等差数列求和问题中的应用。从本质上来说，等差数列求和的过程和解决函数问题所遵循的原理是一样的，都是通过已知给定的条件通过与所求的未知因素之间的逻辑关系，由已知推导出未知的过程。教师在讲解等差数列求和问题的技巧时，要适当引入之前学生学过的函数知识，一方面有利于学生回顾前面所学的知识，巩固学生的记忆；另一方面能够帮助学生更有效地解决当前学习中所遇到的问题。更根本的，教师可以通过梳理不同知识点之间的关系，使学生更深刻地理解数学本身的逻辑体系，形成更加严谨和开放的数学态度，更加提升学生学习数学的兴趣，并且使学生的数学能力得到一个综合性的提升。

总之，在讲解等差函数求和知识相关的习题时，教师应该尽可能组织与之前所学知识的联系，加强对于学生抽象思维的锻炼，使得学生可以将实际的问题符号化，能够更好地解决所遇到的问题。作为高中数学老师，如果愿意在这些方面多下功夫，不论对于学生来讲还是对于教师来讲，都是一件极有价值的事情。过程中，必须积极引导学生强化基础知识的学习，促使他们对相关知识的基本概念、基本原理、公式、法则和定律具有较深的理解，协助他们获得一定的数学思维能力，帮助他们获得一些常用的数学解题方法，并让他们多加练习以至于不断深化巩固，进而将所学方法融会贯通，达到事半功倍的学习效果。

例如，对于一些从正面难以解答的问题，尝试通过“反证法”对其进行解答，如对于已知a<0，-11，显然和已经条件不相符。即可得到ab2>a。

同样的道理，假设ab1，这和已知条件相冲突，故此说明abab2，进而得到a

在高中数学解题中常用的解题方法，还有“配方法”、“换元法”、“参数法”、“待定系数法”等等，引导学生对这些方法的掌握，可以促使他们获得良好的数学基本技能，有助于帮助他们提升数学素养。