2013年江苏高考填空题14题再探

葛艳　王雷

题目（2013年高考14题）在正项等比数列{an}中，a5=112，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+an>a1a2…，an的最大正整数n的值为 .

不等式a1+a2+…+an>a1a2…an对n=1不成立，则验证n=2，a1+a2=3132，a1a2=1132·1116显然满足不等式，写一个就发现，当an<1时，随着n的增大，乘积减小，由此看出，当n≥7时，a1a2…an随着n值的增大而增大，而n=11时，a1a2…a11=1，而左边的和a1+a2+…+an比1大，所以看出，当 2≤n≤11时不等式都是成立的，故只要从n=12开始验证.

n=12时，a1+a2+…+a12=1132（212-1），a1a2…a12=64=26，即比较212-1与211的大小关系，不难有212-1>211。

n=13时，a1+a2+…+a13=1132（213-1），a1a2…a13=64·128=213，即比较213-1与218的大小关系，显然， 1132（213-1）<213.

当n的值继续变大时，乘积的递增速度要比和的递增速度快，则n≥13时不存在正整数使得不等式成立，故认为答案为12.

笔者高度赞赏了那些在2013高考考场上成功攻克14题的学生，同时也进行了反思，如果给定的数列在13项以后仍然出现一个或多个满足不等式的n值怎么办？或者怎么说明当n∈[13，+∞）且n∈N*时，a1+a2+…+an≤a1a2…an恒成立？故将那些学生组织起来开展讨论，找出猜的过程中需要严密逻辑推理的部分，并思考怎么解决.

解由数列{an}是正项等比数列，且a5=112，a6+a7=3，

得首项a1=1132，q=2，则a1+a2+…+an>a1a2…an

即为a1（1-qn）11-q>an1q1+2+…+（n-1），

所以2n-1132>2-5n·2n（n-1）12，

则2n-1>2n212-1112n+5. ①

其实问题已经转化为研究使得上述①式成立的最大正整数n，那么如何突破呢？同学们七嘴八舌地讨论起来了，认真分析经过高三一年在他们脑中构建的知识系统，突然一位学生甲自言自语地说：要是两边都是以2为底的指数就好了，简直一语惊醒梦中人，学生乙：可以根据2n>2n-1将不等式左边适当放大，所以有了下面的放缩法：

先由不等式 2n>2n212-1112n+5得n2-13n+10<0，

从而解得13-12912

又因为n为正整数，n∈{1，2，…，11，12}，由于前面对原不等式进行了放缩处理，故只要验n=12，2n212-1112n+5=211<212-1，所以满足条件的最大正整数n的值为12.

讨论依然在激烈地进行中，学生丙：想要避开指数解决问题，可以对不等式两边取以2为底的对数.故笔者沿着他的思路尝试如下：

两边取以2为底的对数得log2（2n-1）>log22n212-1112n+5=n212-1112n+5=（n-1）（n-10）12，

易知，当2≤n≤10，且n∈N+，上述不等式显然成立.

笔者：问题转化得非常漂亮，那么当n∈[11，+∞）且n∈N*时，不等式成立的最大正整数又该如何确定呢？从而进一步转化为寻找正整数使得不等式log2（2x-1）-（x-1）（x-10）12>0成立.

学生丁：可以构造函数，借助于导数研究其单调性.

构造函数f（x）=log2（2x-1）-（x-1）（x-10）12，

f ′（x）=11（2x-1）ln2·2xln2-x+1112=112x-1-x+1312，

在x∈[11，+∞）时，f ′（x）单调递减，所以

f ′（x）≤f ′（11）=11211-1-912<0，x∈[11，+∞），

所以，x∈[11，+∞）时，f（x）单调递减.

f（11）=log2（211-1）-5=log2211-1125>0.

f（12）=log2（212-1）-11）=log2212-11211>0，

f（13）=log2（213-1）-18=log2213-11218<0，

即x≥13时，f（x）<0，所以，满足本题条件的n为12.

通过大家思维的碰撞，擦出耀眼的火花.从对题目的迷惘，到清晰地突破解题过程中的一个一个难点，从对自己猜出的答案的怀疑，到利用严密的逻辑推理来肯定自己，我和学生们都乐在其中，从而不得不感慨：教学相长，乐在其中.O点102（2+2） km处，能使|AB|最短，最短距离为20（2+1）km.

正余弦定理的运用要求学生对公式能够很好地理解和掌握，对公式的变形各种变形也要熟练，要能够根据已知条件选用恰当的公式灵活解题.平常的练习中要多观察多总结，形成一定的方法，做到能够举一反三，才能更好地运用正余弦定理进行解题.

题目（2013年高考14题）在正项等比数列{an}中，a5=112，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+an>a1a2…，an的最大正整数n的值为 .

不等式a1+a2+…+an>a1a2…an对n=1不成立，则验证n=2，a1+a2=3132，a1a2=1132·1116显然满足不等式，写一个就发现，当an<1时，随着n的增大，乘积减小，由此看出，当n≥7时，a1a2…an随着n值的增大而增大，而n=11时，a1a2…a11=1，而左边的和a1+a2+…+an比1大，所以看出，当 2≤n≤11时不等式都是成立的，故只要从n=12开始验证.

n=12时，a1+a2+…+a12=1132（212-1），a1a2…a12=64=26，即比较212-1与211的大小关系，不难有212-1>211。

n=13时，a1+a2+…+a13=1132（213-1），a1a2…a13=64·128=213，即比较213-1与218的大小关系，显然， 1132（213-1）<213.

当n的值继续变大时，乘积的递增速度要比和的递增速度快，则n≥13时不存在正整数使得不等式成立，故认为答案为12.

笔者高度赞赏了那些在2013高考考场上成功攻克14题的学生，同时也进行了反思，如果给定的数列在13项以后仍然出现一个或多个满足不等式的n值怎么办？或者怎么说明当n∈[13，+∞）且n∈N*时，a1+a2+…+an≤a1a2…an恒成立？故将那些学生组织起来开展讨论，找出猜的过程中需要严密逻辑推理的部分，并思考怎么解决.

解由数列{an}是正项等比数列，且a5=112，a6+a7=3，

得首项a1=1132，q=2，则a1+a2+…+an>a1a2…an

即为a1（1-qn）11-q>an1q1+2+…+（n-1），

所以2n-1132>2-5n·2n（n-1）12，

则2n-1>2n212-1112n+5. ①

其实问题已经转化为研究使得上述①式成立的最大正整数n，那么如何突破呢？同学们七嘴八舌地讨论起来了，认真分析经过高三一年在他们脑中构建的知识系统，突然一位学生甲自言自语地说：要是两边都是以2为底的指数就好了，简直一语惊醒梦中人，学生乙：可以根据2n>2n-1将不等式左边适当放大，所以有了下面的放缩法：

先由不等式 2n>2n212-1112n+5得n2-13n+10<0，

从而解得13-12912

又因为n为正整数，n∈{1，2，…，11，12}，由于前面对原不等式进行了放缩处理，故只要验n=12，2n212-1112n+5=211<212-1，所以满足条件的最大正整数n的值为12.

讨论依然在激烈地进行中，学生丙：想要避开指数解决问题，可以对不等式两边取以2为底的对数.故笔者沿着他的思路尝试如下：

两边取以2为底的对数得log2（2n-1）>log22n212-1112n+5=n212-1112n+5=（n-1）（n-10）12，

易知，当2≤n≤10，且n∈N+，上述不等式显然成立.

笔者：问题转化得非常漂亮，那么当n∈[11，+∞）且n∈N*时，不等式成立的最大正整数又该如何确定呢？从而进一步转化为寻找正整数使得不等式log2（2x-1）-（x-1）（x-10）12>0成立.

学生丁：可以构造函数，借助于导数研究其单调性.

构造函数f（x）=log2（2x-1）-（x-1）（x-10）12，

f ′（x）=11（2x-1）ln2·2xln2-x+1112=112x-1-x+1312，

在x∈[11，+∞）时，f ′（x）单调递减，所以

f ′（x）≤f ′（11）=11211-1-912<0，x∈[11，+∞），

所以，x∈[11，+∞）时，f（x）单调递减.

f（11）=log2（211-1）-5=log2211-1125>0.

f（12）=log2（212-1）-11）=log2212-11211>0，

f（13）=log2（213-1）-18=log2213-11218<0，

即x≥13时，f（x）<0，所以，满足本题条件的n为12.

通过大家思维的碰撞，擦出耀眼的火花.从对题目的迷惘，到清晰地突破解题过程中的一个一个难点，从对自己猜出的答案的怀疑，到利用严密的逻辑推理来肯定自己，我和学生们都乐在其中，从而不得不感慨：教学相长，乐在其中.O点102（2+2） km处，能使|AB|最短，最短距离为20（2+1）km.

正余弦定理的运用要求学生对公式能够很好地理解和掌握，对公式的变形各种变形也要熟练，要能够根据已知条件选用恰当的公式灵活解题.平常的练习中要多观察多总结，形成一定的方法，做到能够举一反三，才能更好地运用正余弦定理进行解题.

题目（2013年高考14题）在正项等比数列{an}中，a5=112，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+an>a1a2…，an的最大正整数n的值为 .

不等式a1+a2+…+an>a1a2…an对n=1不成立，则验证n=2，a1+a2=3132，a1a2=1132·1116显然满足不等式，写一个就发现，当an<1时，随着n的增大，乘积减小，由此看出，当n≥7时，a1a2…an随着n值的增大而增大，而n=11时，a1a2…a11=1，而左边的和a1+a2+…+an比1大，所以看出，当 2≤n≤11时不等式都是成立的，故只要从n=12开始验证.

n=12时，a1+a2+…+a12=1132（212-1），a1a2…a12=64=26，即比较212-1与211的大小关系，不难有212-1>211。

n=13时，a1+a2+…+a13=1132（213-1），a1a2…a13=64·128=213，即比较213-1与218的大小关系，显然， 1132（213-1）<213.

当n的值继续变大时，乘积的递增速度要比和的递增速度快，则n≥13时不存在正整数使得不等式成立，故认为答案为12.

笔者高度赞赏了那些在2013高考考场上成功攻克14题的学生，同时也进行了反思，如果给定的数列在13项以后仍然出现一个或多个满足不等式的n值怎么办？或者怎么说明当n∈[13，+∞）且n∈N*时，a1+a2+…+an≤a1a2…an恒成立？故将那些学生组织起来开展讨论，找出猜的过程中需要严密逻辑推理的部分，并思考怎么解决.

解由数列{an}是正项等比数列，且a5=112，a6+a7=3，

得首项a1=1132，q=2，则a1+a2+…+an>a1a2…an

即为a1（1-qn）11-q>an1q1+2+…+（n-1），

所以2n-1132>2-5n·2n（n-1）12，

则2n-1>2n212-1112n+5. ①

其实问题已经转化为研究使得上述①式成立的最大正整数n，那么如何突破呢？同学们七嘴八舌地讨论起来了，认真分析经过高三一年在他们脑中构建的知识系统，突然一位学生甲自言自语地说：要是两边都是以2为底的指数就好了，简直一语惊醒梦中人，学生乙：可以根据2n>2n-1将不等式左边适当放大，所以有了下面的放缩法：

先由不等式 2n>2n212-1112n+5得n2-13n+10<0，

从而解得13-12912

又因为n为正整数，n∈{1，2，…，11，12}，由于前面对原不等式进行了放缩处理，故只要验n=12，2n212-1112n+5=211<212-1，所以满足条件的最大正整数n的值为12.

讨论依然在激烈地进行中，学生丙：想要避开指数解决问题，可以对不等式两边取以2为底的对数.故笔者沿着他的思路尝试如下：

两边取以2为底的对数得log2（2n-1）>log22n212-1112n+5=n212-1112n+5=（n-1）（n-10）12，

易知，当2≤n≤10，且n∈N+，上述不等式显然成立.

笔者：问题转化得非常漂亮，那么当n∈[11，+∞）且n∈N*时，不等式成立的最大正整数又该如何确定呢？从而进一步转化为寻找正整数使得不等式log2（2x-1）-（x-1）（x-10）12>0成立.

学生丁：可以构造函数，借助于导数研究其单调性.

构造函数f（x）=log2（2x-1）-（x-1）（x-10）12，

f ′（x）=11（2x-1）ln2·2xln2-x+1112=112x-1-x+1312，

在x∈[11，+∞）时，f ′（x）单调递减，所以

f ′（x）≤f ′（11）=11211-1-912<0，x∈[11，+∞），

所以，x∈[11，+∞）时，f（x）单调递减.

f（11）=log2（211-1）-5=log2211-1125>0.

f（12）=log2（212-1）-11）=log2212-11211>0，

f（13）=log2（213-1）-18=log2213-11218<0，

即x≥13时，f（x）<0，所以，满足本题条件的n为12.

通过大家思维的碰撞，擦出耀眼的火花.从对题目的迷惘，到清晰地突破解题过程中的一个一个难点，从对自己猜出的答案的怀疑，到利用严密的逻辑推理来肯定自己，我和学生们都乐在其中，从而不得不感慨：教学相长，乐在其中.O点102（2+2） km处，能使|AB|最短，最短距离为20（2+1）km.

正余弦定理的运用要求学生对公式能够很好地理解和掌握，对公式的变形各种变形也要熟练，要能够根据已知条件选用恰当的公式灵活解题.平常的练习中要多观察多总结，形成一定的方法，做到能够举一反三，才能更好地运用正余弦定理进行解题.