蛇引理在长正合列定理证明中的应用

缪 玥

(新疆大学数学与系统科学学院，乌鲁木齐 830046)

长正合列是同调代数学中非常重要的一个概念。在很多同调代数教科书中长正合列定理［1-3］的证明是直接由定义给出的［3］，因此比较繁琐。而蛇引理［3，4］是同调代数中非常有用的一个工具。先用给定的两个复形构造出两个新的复形;其次用这两个新复形构造出一个复形正合列及一个满足蛇引理条件的交换图;最后，用蛇引理的结果直接给出长正合列定理的证明。

1 预备知识

定义2［1］设(A，d)与(A'，d')是两个复形，如果fn∈Hom(An，A'n)对所有的n使图1交换:

图1

则称f:(A，d)→(A'，d')为链映射。

图2

引理1［3］(蛇引理)如果每一行都正合的模在模范畴的交换图(图3)如下:

图3

则存在一个联系核与上核的正合序列:

此外，若p0:→—A'A为单射，则ker→—αkerβ是单射;若i1:→—CC″为满射，则coker→—βcokerγ是满射。

2 主要结论

现在叙述和证明主要结果。R是一个有单位元的环，Mod(R)是所有左R-模的范畴。首先由两个给定的复形定义两个新的复形如下:

设(A，d)与(A'，d')是Mod(R)中模的两个复形，f:(A，d)→(A'，d')是它们间的一个链映射。令Mn=An-1⊕A'n，定义映射:

设∀(an-1，a'n)∈lmΔn+1，∃(an，a'n+1)∈Mn+1，Δn+1(an，a'n+1)=(-dnan，d'n+1a'n+1+fnan)，所以，

又由图2 知d'nfn=fn-1dn，则d'na'n-d'nfnan=d'na'n-fn-1dnan=d'na'n+fn-1an-1=0，所以，Δn(an-1，a'n)=(-dn-1an-1，d'na'n+fn-1an-1)=0，即(an-1，a'n)∈kerΔn。由此可得 ImΔn+1⊆kerdn，因此M(f)为一个复形，记作(M(f)，Δ)。

其中:in:分别定义为in(a'n)=(0，a'n)和pn(an-1，a'n)=an-1。

证明 从复形正合列的定义可知，只需证明图4的每一行都为正合列，而且图4是交换图即可。分4步证明:

图4

(1)in是单射，pn是满射。

设∀a'n∈A'n有in(a'n)=(0，a'n)=0，则a'n=0。因而，kerin={0}，即in是单射。

设∀an-1∈An-1，则∃(an-1，a'n)∈An-1⊕A'n使得pn(an-1，a'n)=an-1，即pn是满射。

(2)lmin=kerpn。

设 ∀(an-1，a'n)∈lmin，则∃a'n∈A'n使得in(a'n)=(an-1，a'n)，又由in的定义知in(a'n)=(0，a'n)，得an-1=0，即pn(an-1，a'n)=an-1=0，所以 lmin⊆kerpn。

反之，设∀(an-1，a'n)∈kerpn，则有pn(an-1，a'n)=an-1=0，即∃a'n∈A'n，使得in(a'n)=(0，a'n)=(an-1，a'n)，即(an-1，a'n)∈lmin，所以 kerpn⊆lmin。

(3)证明图4的第一个方形图交换。

对∀a'n+1∈A'n+1有:

所以，Δn+1in+1=ind'n+1，即第一个方形图交换。

(4)证明图4的第二个方形图交换。

对∀(an，a'n+1)∈An⊕A'n+1有-dnpn+1(an，a'n+1)=-dnan，

所以，-dnpn+1=pnΔn+1，即第二个方形图交换。

为了用上述所给定义和复形正合列得到长正合列的另一个证明，给出以下引理并加以证明。

且每一行都是正合列。

其中:

图5

证明 按如下几步证明。

(2)证明图5中第一行为正合列。

。是满射，∃(an-1，a'n)∈An-1⊕A'n

(3)证明图5中第二行为正合列。

(4)证明图5中第一个方形图交换。

(5)证明图5中第二个方形图交换。

综上由(1)(2)(3)(4)(5)可得，此定理得证。

现在由这个新复形正合列给出一个长正合列。

其中:∂:H(A+)— →H(A')为∂(a+lm(-d))=i-1Δ(a)+lmd'。

n-1nn-1n-1n-1nn-1nn-1n

证明 因为引理1满足蛇引理的条件，所以有:

由 α(a'n+lmd'n+1)=d'na'n=0，得a'n∈kerd'n，lmα=lmd'n，所以，

由 γ(an-1+lm(-dn))=dn-1an-1=0，得an-1∈ker(-dn-1)，lmγ=lm(-dn-1)，所以，

［1］周伯壎.同调代数［M］.北京:科学出版社，1988

［2］程福长.同调代数［M］.南宁:广西师范大学出版社，1989

［3］JOSEPH J R.An introduction to homological algebra［M］.Academic press，1979

［4］SERGE L.Graduate Texts in Mathematics［M］.Springer-Verlag New York Inc，2002