几何画板在立体几何中的应用

■张晋阳

几何画板在立体几何中的应用

■张晋阳

几何画板是一个适用于几何教学的软件，它具有强大的动态变化功能，一流的交互功能，能以浓缩的形态给学生提供数学背景，动态地保持了几何图形中内在的、恒定不变的几何关系及几何规律。通过学生的参与和亲手操作，枯燥抽象的内容变成生动形象的图形，原本不明白或不甚明白的概念变得一目了然。利用几何画板，给学生一个“操作数学”的环境，把抽象的立体几何教学变得形象、直观，动态展示教学内容或数学问题，能够化抽象为具体，化具体为形象，从而使教学更加直观、生动，有利于激发学生的学习兴趣，增强教学的趣味性。为此，笔者尝试对高中立体几何教学中的问题，阐述几何画板的优势。

快速建立空间概念

用《几何画板》绘制各种立体图形非常直观，可以解决学生从平面图形向立体图形，从二维平面向三维空间过渡的难题，因为它确实能把一个“活”的立体图形展现在学生面前。

立体几何是在学生已有的平面图形知识的基础上讨论空间图形的性质；它所用的研究方法是以公理为基础，直接依据图形的点、线、面的关系来研究图形的性质。从平面图形到空间图形，从平面观念过渡到立体观念，无疑是认识上的一次飞跃。初学立体几何时，大多数学生不具备丰富的空间想象能力及较强的平面与空间图形的转化能力，主要原因在于人们是依靠对二维平面图形的直观来感知和想象三维空间图形的，而二维平面图形不可能成为三维空间图形的真实写照，平面上绘出的立体图形受其视角的影响，难于综观全局，其空间形式具有很大的抽象性。如两条互相垂直的直线不一定画成交角为直角的两条直线；正方体的各面不能都画成正方形等。这样一来，学生不得不根据歪曲真相的图形去想象真实情况，这便给学生认识立体几何图形增加了困难。而应用几何画板将图形动起来，就可以使图形中各元素之间的位置关系和度量关系惟妙惟肖，使学生从各个不同的角度去观察图形。这样，不仅可以帮助学生理解和接受立体几何知识，还可以让学生的想象力和创造力得到充分发挥。例如，在讲解空间几何体的表面积与体积时，利用几何画板动态的展示空间几何体的侧面展开过程，让学生能直观的体会、理解公式。通过拖动某一点即可得到圆台、柱、锥之间的联系，从而得到了公式之间的联系，加深对公式的理解。

突破立体几何教学的难点

学生在立体几何学习过程中的一个困惑是立体几何语言表达无章法，陈述不清、顺序颠倒、内容遗漏、条件不足、出言无据、望图生义、混淆平面与空间，这样一些现象普遍存在。做任何一件事，只要抓住它的特征，把握它的规律，这件事就不难解决。那么，立体几何这门学科它的学科特征是什么呢？从哪里入手就可以让立体几何的入门教学变得不难呢？在立体几何入门教学中，可以用几何画板做出不同类型的几何体，让学生发现和体味立体几何。例如：在线面平行、垂直判定的教学中，笔者用几何画板作了如下图形，让学生在图中找平行与垂直关系，并可以任意拖动点改变图形的形状，试着用数学符号语言描述对应关系及简单的一些推理，如图一。

图一

又让学生结合几何画板作图，根据图形分组做出对应几何模型，让学生体会立体几何位置关系和立体几何结构的原型之间的转化。

在解题教学中攻关

数学教学离不开解题，特别是对于问题的抽象是解题的主要障碍，如何化繁为简，化虚为实。利用几何画板中的动画，往往能起到出奇制胜的作用。例如，（2005年全国卷）正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点。那么正方体的过P、Q、R的截面图形是什么图形？利用几何画板很容易验证学生的结论，如图二：

图二

图三

又如，问题：“顺次连接四边形的各边中点构成什么图形？”在几何画板的支持下，可以在屏幕上制作一个动态的四边形，它在运动过程中忽而是凸四边形，忽而是凹四边形，四边中点的连线组成的图形也是不断变化的，可能是一般的平行四边形，也可能是特殊的平行四边形，如图三。在这种情况下，教师可以引导学生探究附加怎样的条件将导出什么样的结论。

将几何画板附于立体几何教学中，能将一般传统教学中难以表现的数形及其变化过程生动地展示出来，使学生的表象、联想、想象等形象思维能得到很好的培养和锻炼。

[1]普通高中课程标准实验教科书：数学必修2（B版）[M]．北京：人民教育出版社，2011

[2]江玉军．几何画板5.0从入门到精通[M]．广东：中山大学出版社，2011

[3]陶振宗．几何画板——21世纪的动态几何[M]．北京：人民教育出版社，1998

（作者单位：内蒙古自治区阿拉善盟第一中学）