二元一次方程，轻松将“鸡兔”“分笼”

魏敏敏

【摘 要】“鸡兔同笼”问题是人教版实验教科书《数学》六年级上册数学广角的教学内容，教材先后呈现了猜测法，列表法，假设法，一元一次方程法，让所有学生理解各方法并熟练应用有一定的困难。而二元一次方程组是解决“鸡兔同笼”问题的最佳数学模型，在教学实践中尝试并运用一些解方程组的技巧，能收到良好的效果。

【关键词】“鸡兔同笼”问题；二元一次方程组

意外的收获

“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，最早出现在《孙子算经》中。原文为：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

看着主题图上抓耳挠腮、满头大汗的孩童们，不禁问：鸡兔同笼问题真有这么难学吗？

笔者在施教前后分别做了调查分析。在未进行教学前，部分课外学过奥数的学生会解决“鸡兔同笼”问题，但大部分学生毫无解题思路，如表一：

第一课时介绍“方程法”，第二课时教学“假设法”，然后进行当堂练习，发现部分学生尝试用“假设法”解题，但并没有真正明白解题思路；而选择二元一次方程组解题的学生则比较多，见表二：

为了检验二元一次方程组是否深入人心，课后明确要求学生用这一方法解题，统计学生作业的正确率而得到表三中的数据。

通过以上调查分析可以看出，原本不会的学生大多数选择了二元一次方程来解决“鸡兔同笼”问题。而尝试用假设法的30名学生（12+3+15）中，12人对其一知半解，14人原本就会，只有4人新学会了假设法。与学生进一步谈话了解到，班级后20%的学生更倾向于选择二元一次方程。表三中的数据也正说明六年级的学生是可以理解并掌握用二元一次方程组解决“鸡兔同笼”问题的。

缘起

鸡兔同笼问题，多见于奥数教程中，但将其编入新课程教材尚属首次。那么教材是如何编排的呢？

一堂课将化繁为简、画图、猜测尝试、枚举、假设、方程等多种数学思想和方法一一渗透，是教材的编写意图。就解题方法而言，方程法无疑是最简单快捷的。但在实际教学中，学生很排斥方程。一是因为方程书写格式繁琐；二是“鸡兔同笼”问题对解方程提出了更高的要求。

教参中明确要求让学生“尝试用不同的方法解决‘鸡兔同笼问题，并使学生体会代数方法的一般性。”因此，该如何强调方程，引导学生去“体会代数方法的一般性”呢？二元一次方程，何尝不是最佳的数学模型？

实践

在教学实践中，笔者以“提出问题→独立尝试，全班交流→聚焦方程法→再次尝试→拓展延伸→全课总结”的结构来开展教学活动。

课堂上，例题是：笼子里有鸡和兔共8只，他们一共有26只脚，鸡和兔各有几只？学生通过独立思考，交流讨论，出现如下方法：

（1）表格法，利用“鸡的只数”，“兔的只数”，“脚的总数”之间的数量关系记录表格，直接得出答案。

（2）方程法a：

解：设兔子有x只，则鸡有（8-x）只。

4x+2（8-x）=26

方程法b：

解：设鸡有x只，则兔有（8-x）只。

2x+4（8-x）=26

方程法c：

解：设鸡有x只，兔有y只。

x+y=8

2x+4y=26

一节课才40分钟，要让学生理解和掌握上述多种方法尚有难度，更别提灵活运用了！所以本节课必须对解题方法进行重点化，突出代数方法的一般性。

三个方程中所蕴含的数量关系对于六年级学生来说是完全可以理解的，甚至可以说二元一次方程中的数量关系更浅显易懂。

那么解方程呢？如果仍按代入法解方程组，其实又与方程法a和方程法b一样了，无法凸显二元一次方程的优越性。所以解二元一次方程组应该另辟捷径。

x+y=8

2x+4y=26

2x+2y=16……利用等式的基本性质，对方程组中的第一个方程进行恒等变化

2x+4y=26

2x+2y+2y=26……将4y拆分成2y+2y

16+2y=26……对2x+2y=16进行等量代换

16+2y-16=26-16

2y÷2=10÷2

y=5

x+5=8

x=3

学方程前先学等式的基本性质，学生已烂熟于心；等量代换，一二年级就开始接触，六年级学生已轻车熟路。由此可见，利用等式的基本性质和等量代换来解二元一次方程组，既不需要去小括号，合并同类项，也回避了x为减数时的解题困难。

在“再次尝试”教学环节中，笔者出示的问题是：一个笼子里有鸡和兔共35只，它们的脚一共有94只，鸡和兔各有几只？通过观察发现，多数学生选择二元一次方程组来解决问题，他们表示“列二元一次方程组根本不需要动脑筋”，更有学生表示列好方程组后，“我口算一下就马上知道答案了”。学生的话不正表明他们已经深刻地体会到二元一次方程组的优越性了吗？

总结

我们都知道，“二元一次方程组是解决‘鸡兔同笼问题的最佳数学模型”，虽说这样的方程是完全超标的，但学习的主人是学生，学习的组织者是教师，这两者都具有主观能动性，为何不灵活处理问题呢？以二元一次方程组解决“鸡兔同笼”问题，这样的教学，这样的方法，学生能理解，会应用，说明这一数学教学活动确实建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上；一部分学生经历了解题方法从难到易的过程，一部分学生经历了解题方法从无到有的飞跃，不就实现了不同的人在数学上得到不同的发展吗？这样的教学，这样的方法，不也很有意义吗？！

参考文献：

[1]徐泽洲，陈洁云，李金生，李济元.小学奥数读本（小学五年级）[M].南京：江苏教育出版社，2000.

[2]王继延.“鸡兔同笼”与方程——谈“一元一次方程”与“二元一次方程组”的学习[J].中学生数理化（七年级数学）（华师大版），2008（Z1）.

【摘 要】“鸡兔同笼”问题是人教版实验教科书《数学》六年级上册数学广角的教学内容，教材先后呈现了猜测法，列表法，假设法，一元一次方程法，让所有学生理解各方法并熟练应用有一定的困难。而二元一次方程组是解决“鸡兔同笼”问题的最佳数学模型，在教学实践中尝试并运用一些解方程组的技巧，能收到良好的效果。

【关键词】“鸡兔同笼”问题；二元一次方程组

意外的收获

“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，最早出现在《孙子算经》中。原文为：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

看着主题图上抓耳挠腮、满头大汗的孩童们，不禁问：鸡兔同笼问题真有这么难学吗？

笔者在施教前后分别做了调查分析。在未进行教学前，部分课外学过奥数的学生会解决“鸡兔同笼”问题，但大部分学生毫无解题思路，如表一：

第一课时介绍“方程法”，第二课时教学“假设法”，然后进行当堂练习，发现部分学生尝试用“假设法”解题，但并没有真正明白解题思路；而选择二元一次方程组解题的学生则比较多，见表二：

为了检验二元一次方程组是否深入人心，课后明确要求学生用这一方法解题，统计学生作业的正确率而得到表三中的数据。

通过以上调查分析可以看出，原本不会的学生大多数选择了二元一次方程来解决“鸡兔同笼”问题。而尝试用假设法的30名学生（12+3+15）中，12人对其一知半解，14人原本就会，只有4人新学会了假设法。与学生进一步谈话了解到，班级后20%的学生更倾向于选择二元一次方程。表三中的数据也正说明六年级的学生是可以理解并掌握用二元一次方程组解决“鸡兔同笼”问题的。

缘起

鸡兔同笼问题，多见于奥数教程中，但将其编入新课程教材尚属首次。那么教材是如何编排的呢？

一堂课将化繁为简、画图、猜测尝试、枚举、假设、方程等多种数学思想和方法一一渗透，是教材的编写意图。就解题方法而言，方程法无疑是最简单快捷的。但在实际教学中，学生很排斥方程。一是因为方程书写格式繁琐；二是“鸡兔同笼”问题对解方程提出了更高的要求。

教参中明确要求让学生“尝试用不同的方法解决‘鸡兔同笼问题，并使学生体会代数方法的一般性。”因此，该如何强调方程，引导学生去“体会代数方法的一般性”呢？二元一次方程，何尝不是最佳的数学模型？

实践

在教学实践中，笔者以“提出问题→独立尝试，全班交流→聚焦方程法→再次尝试→拓展延伸→全课总结”的结构来开展教学活动。

课堂上，例题是：笼子里有鸡和兔共8只，他们一共有26只脚，鸡和兔各有几只？学生通过独立思考，交流讨论，出现如下方法：

（1）表格法，利用“鸡的只数”，“兔的只数”，“脚的总数”之间的数量关系记录表格，直接得出答案。

（2）方程法a：

解：设兔子有x只，则鸡有（8-x）只。

4x+2（8-x）=26

方程法b：

解：设鸡有x只，则兔有（8-x）只。

2x+4（8-x）=26

方程法c：

解：设鸡有x只，兔有y只。

x+y=8

2x+4y=26

一节课才40分钟，要让学生理解和掌握上述多种方法尚有难度，更别提灵活运用了！所以本节课必须对解题方法进行重点化，突出代数方法的一般性。

三个方程中所蕴含的数量关系对于六年级学生来说是完全可以理解的，甚至可以说二元一次方程中的数量关系更浅显易懂。

那么解方程呢？如果仍按代入法解方程组，其实又与方程法a和方程法b一样了，无法凸显二元一次方程的优越性。所以解二元一次方程组应该另辟捷径。

x+y=8

2x+4y=26

2x+2y=16……利用等式的基本性质，对方程组中的第一个方程进行恒等变化

2x+4y=26

2x+2y+2y=26……将4y拆分成2y+2y

16+2y=26……对2x+2y=16进行等量代换

16+2y-16=26-16

2y÷2=10÷2

y=5

x+5=8

x=3

学方程前先学等式的基本性质，学生已烂熟于心；等量代换，一二年级就开始接触，六年级学生已轻车熟路。由此可见，利用等式的基本性质和等量代换来解二元一次方程组，既不需要去小括号，合并同类项，也回避了x为减数时的解题困难。

在“再次尝试”教学环节中，笔者出示的问题是：一个笼子里有鸡和兔共35只，它们的脚一共有94只，鸡和兔各有几只？通过观察发现，多数学生选择二元一次方程组来解决问题，他们表示“列二元一次方程组根本不需要动脑筋”，更有学生表示列好方程组后，“我口算一下就马上知道答案了”。学生的话不正表明他们已经深刻地体会到二元一次方程组的优越性了吗？

总结

我们都知道，“二元一次方程组是解决‘鸡兔同笼问题的最佳数学模型”，虽说这样的方程是完全超标的，但学习的主人是学生，学习的组织者是教师，这两者都具有主观能动性，为何不灵活处理问题呢？以二元一次方程组解决“鸡兔同笼”问题，这样的教学，这样的方法，学生能理解，会应用，说明这一数学教学活动确实建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上；一部分学生经历了解题方法从难到易的过程，一部分学生经历了解题方法从无到有的飞跃，不就实现了不同的人在数学上得到不同的发展吗？这样的教学，这样的方法，不也很有意义吗？！

参考文献：

[1]徐泽洲，陈洁云，李金生，李济元.小学奥数读本（小学五年级）[M].南京：江苏教育出版社，2000.

[2]王继延.“鸡兔同笼”与方程——谈“一元一次方程”与“二元一次方程组”的学习[J].中学生数理化（七年级数学）（华师大版），2008（Z1）.

【摘 要】“鸡兔同笼”问题是人教版实验教科书《数学》六年级上册数学广角的教学内容，教材先后呈现了猜测法，列表法，假设法，一元一次方程法，让所有学生理解各方法并熟练应用有一定的困难。而二元一次方程组是解决“鸡兔同笼”问题的最佳数学模型，在教学实践中尝试并运用一些解方程组的技巧，能收到良好的效果。

【关键词】“鸡兔同笼”问题；二元一次方程组

意外的收获

“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，最早出现在《孙子算经》中。原文为：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

看着主题图上抓耳挠腮、满头大汗的孩童们，不禁问：鸡兔同笼问题真有这么难学吗？

笔者在施教前后分别做了调查分析。在未进行教学前，部分课外学过奥数的学生会解决“鸡兔同笼”问题，但大部分学生毫无解题思路，如表一：

第一课时介绍“方程法”，第二课时教学“假设法”，然后进行当堂练习，发现部分学生尝试用“假设法”解题，但并没有真正明白解题思路；而选择二元一次方程组解题的学生则比较多，见表二：

为了检验二元一次方程组是否深入人心，课后明确要求学生用这一方法解题，统计学生作业的正确率而得到表三中的数据。

通过以上调查分析可以看出，原本不会的学生大多数选择了二元一次方程来解决“鸡兔同笼”问题。而尝试用假设法的30名学生（12+3+15）中，12人对其一知半解，14人原本就会，只有4人新学会了假设法。与学生进一步谈话了解到，班级后20%的学生更倾向于选择二元一次方程。表三中的数据也正说明六年级的学生是可以理解并掌握用二元一次方程组解决“鸡兔同笼”问题的。

缘起

鸡兔同笼问题，多见于奥数教程中，但将其编入新课程教材尚属首次。那么教材是如何编排的呢？

一堂课将化繁为简、画图、猜测尝试、枚举、假设、方程等多种数学思想和方法一一渗透，是教材的编写意图。就解题方法而言，方程法无疑是最简单快捷的。但在实际教学中，学生很排斥方程。一是因为方程书写格式繁琐；二是“鸡兔同笼”问题对解方程提出了更高的要求。

教参中明确要求让学生“尝试用不同的方法解决‘鸡兔同笼问题，并使学生体会代数方法的一般性。”因此，该如何强调方程，引导学生去“体会代数方法的一般性”呢？二元一次方程，何尝不是最佳的数学模型？

实践

在教学实践中，笔者以“提出问题→独立尝试，全班交流→聚焦方程法→再次尝试→拓展延伸→全课总结”的结构来开展教学活动。

课堂上，例题是：笼子里有鸡和兔共8只，他们一共有26只脚，鸡和兔各有几只？学生通过独立思考，交流讨论，出现如下方法：

（1）表格法，利用“鸡的只数”，“兔的只数”，“脚的总数”之间的数量关系记录表格，直接得出答案。

（2）方程法a：

解：设兔子有x只，则鸡有（8-x）只。

4x+2（8-x）=26

方程法b：

解：设鸡有x只，则兔有（8-x）只。

2x+4（8-x）=26

方程法c：

解：设鸡有x只，兔有y只。

x+y=8

2x+4y=26

一节课才40分钟，要让学生理解和掌握上述多种方法尚有难度，更别提灵活运用了！所以本节课必须对解题方法进行重点化，突出代数方法的一般性。

三个方程中所蕴含的数量关系对于六年级学生来说是完全可以理解的，甚至可以说二元一次方程中的数量关系更浅显易懂。

那么解方程呢？如果仍按代入法解方程组，其实又与方程法a和方程法b一样了，无法凸显二元一次方程的优越性。所以解二元一次方程组应该另辟捷径。

x+y=8

2x+4y=26

2x+2y=16……利用等式的基本性质，对方程组中的第一个方程进行恒等变化

2x+4y=26

2x+2y+2y=26……将4y拆分成2y+2y

16+2y=26……对2x+2y=16进行等量代换

16+2y-16=26-16

2y÷2=10÷2

y=5

x+5=8

x=3

学方程前先学等式的基本性质，学生已烂熟于心；等量代换，一二年级就开始接触，六年级学生已轻车熟路。由此可见，利用等式的基本性质和等量代换来解二元一次方程组，既不需要去小括号，合并同类项，也回避了x为减数时的解题困难。

在“再次尝试”教学环节中，笔者出示的问题是：一个笼子里有鸡和兔共35只，它们的脚一共有94只，鸡和兔各有几只？通过观察发现，多数学生选择二元一次方程组来解决问题，他们表示“列二元一次方程组根本不需要动脑筋”，更有学生表示列好方程组后，“我口算一下就马上知道答案了”。学生的话不正表明他们已经深刻地体会到二元一次方程组的优越性了吗？

总结

我们都知道，“二元一次方程组是解决‘鸡兔同笼问题的最佳数学模型”，虽说这样的方程是完全超标的，但学习的主人是学生，学习的组织者是教师，这两者都具有主观能动性，为何不灵活处理问题呢？以二元一次方程组解决“鸡兔同笼”问题，这样的教学，这样的方法，学生能理解，会应用，说明这一数学教学活动确实建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上；一部分学生经历了解题方法从难到易的过程，一部分学生经历了解题方法从无到有的飞跃，不就实现了不同的人在数学上得到不同的发展吗？这样的教学，这样的方法，不也很有意义吗？！

参考文献：

[1]徐泽洲，陈洁云，李金生，李济元.小学奥数读本（小学五年级）[M].南京：江苏教育出版社，2000.

[2]王继延.“鸡兔同笼”与方程——谈“一元一次方程”与“二元一次方程组”的学习[J].中学生数理化（七年级数学）（华师大版），2008（Z1）.