清华简《筮法》与楚地数字卦演算方法的推求

贾连翔

（清华大学出土文献研究与保护中心，北京 100084）

清华简《筮法》与楚地数字卦演算方法的推求

贾连翔

（清华大学出土文献研究与保护中心，北京 100084）

张政烺先生在研究数字卦的过程中就曾指出“筮法问题不容易解决”[1]，如果单从考古材料着手研究，其中主要难点我想有3条：（1）我们目前所得到的数字卦例都是演算后得到的运算结果，其过程只能通过反推的方式求得；（2）已知的数字卦例大多是零散得到的占筮实例，不成系统；（3）占筮方法会有同时存在多种系统的可能，已知的数字卦例可能分属于不同的系统，笼统地将不同算法的结果汇集在一起，只会让我们更加束手无策。随着楚简中数字卦材料的增多，加上清华简《筮法》的发现，材料可以形成系统了，使得研究的窘境得到了很大的改观。

一、演算方法需要满足的条件

我们解数学题常用的一个词叫“已知条件”，《筮法》中有关演算的已知条件有如下几条：

（1）篇末有一段韵文，是针对通篇论及的17种占筮命题的，说：

整理者将“力”读为“扐”，通过《说文》和《周易·系辞》的记载我们可以了解，这“一定是用蓍草的占法”[2]，很可能与《系辞》所载占筮程序有关。

（2）“地支与爻”一节记有一个表格：

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（3）一是阳爻，六是阴爻最为常见，同样相当阳爻的五、九，相当阴爻的四、八，则比较少见，它们在“爻象”一节中以八、五、九、四为序，李学勤先生指出这种排序方式“或许还有深意”[6]。可以推想，八、五、九、四的顺序很可能是按照这些数字算出概率的高低进行排列的。我们对天星观简[7]、包山简、新蔡葛陵简中的实占卦例与《筮法》中所举卦例分别进行了统计，六种筮数出现频率详见下表：

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总得说来，一（七）、六的结果最多，四、五、八、九则十分少见。《筮法》简中的卦例是针对命题的典型情况举例，其中六个数出现的频率应与实际演算结果有一定差别，这是容易理解的。值得注意的是三批楚地实占数字卦例，除一（七）、六外，其余四数的频率，确实符合八、五、九、四的排序。四，尚未出现，大约是因为这一结果筮得的概率很低。

二、演算方法的推求

建立在上述认识的基础上，我们尝试对演算过程进行推求。在整理小组的讨论过程中，程浩先生已提出了一种演算方法[8]，证明能同时得出四、五、六、七、八、九的结果的这样一种算法是确实存在的，但是其得出四、五、八、九的概率与已知条件（三）的推想有所抵牾，使得算法问题仍有继续探索下去的必要。

我们知道，讲占筮方法的书，在出土文献材料里有北大简《荆決》、敦煌卷子本《周公卜法》，传世文献里有西汉扬雄的《太玄》，北宋司马光的《潜虚》，最为大家所熟知的，是朱熹的《周易本义》后面附的《筮仪》，其来源可以追溯到 《周易·系辞传上》“大衍之数”一章，此章有云：

大衍之数五十，其用四十有九。分而为二以象两，挂一以象三，揲之以四以象四时，归奇于扐以象闰。五岁再闰，故再扐而后挂。

马王堆帛书中没有此章，张政烺先生认为它是“西汉中期的作品”[9]，而且自宋以来，很多学者都认为此章有衍文和错简[10]，虽然这章有诸多问题，但经过学者们的考证，今本此章的成书年代不可能晚，“大概在《系辞》形成的时期即已存在”[11]，按《系辞》不晚于《乐记》[12]，即不晚于战国中期，所以，从时间上讲，我们用它来解释楚地数字卦材料是合适的。

《筮仪》里制定了“分二，挂一，揲四，取余”的演算方法，巧妙地得到六、七、八、九四个数，并基本圆满地解释了《左传》、《国语》中的筮例，历来为人们所深信，但深究起来，其中的问题颇多。

其一，演算过程的本旨与《系辞》之义不合。只要亲自演算过的人都会明白，如果将“挂一”理解为取出1根蓍草，从第一变开始，真正参加演算的便只有48根蓍草。如果说“大衍之数五十”后有脱文是有讨论余地的，那么，“其用四十有九”则是很清楚说明了实际参加演算的确为49根蓍草，这一算法的本旨显然与书中记载存在着矛盾。

其二，演算得到数字的概率不平衡。前贤研究已指出三方面不均等，“第一是得七、八、九、六四个数的概率不均等，得七的概率为31.25%，得八的概率为43.75%，得九的概率为18.75%，得六的概率为6.25%。第二是在变爻中得六与得九的概率也不均等，得九的概率是得六的概率的三倍。就是说，得阳爻九的机会大大多于得阴爻六的机会，有崇阳抑阴的意向。第三是在一卦六爻中，得几个变爻的概率也不均等。一卦六爻都不变的概率是17.799%，有一个变爻的概率是35.595%，有两个变爻的概率是29.663%，有三个变爻的概率是13.184%，有四个变爻的概率是29.663%，有五个变爻的概率是0.439%，有六个变爻的概率是0.024%。”[13]

其三，演算得到的结果即六、七、八、九四个数本于推想。《周易》经文中有“九”、“六”之数，但不曾见“七”、“八”，七、八作为演算结果，是汉代以后的学者为了解释《左传》、《国语》中的筮例而逐步架构起的一个理论体系，这与我们现在明确知道数字卦占筮结果有四、五、六、七、八、九六个数，虽然在数字上有部分巧合，但本旨确是截然不同的。

我们认为，《系辞传》此章确实可以作为探索楚地数字卦演算方法的钥匙，只是对文义理解的不同，造成的算法与结果的大相径庭。调和上述问题并同时满足前文提出的“已知条件”的办法，只需要对“挂一”这一概念重新定义。

“挂一”可以理解为拿出1根蓍草，也可以理解为拿出1捆蓍草，前说“分而为二以象两”的“二”理解为2捆蓍草，则仅接着的“挂一以象三”理解为1捆似乎更有呼应。这样一理解，通过“分二”、“挂一”的两个步骤，实际上是将49根蓍草随机分成了3捆，再对3捆蓍草分别进行“揲四”、“取余”两个步骤，这就是四营，也是一变，然后进行三变而完成一爻。此种演算方法是符合《系辞》大衍之数章所描述的。由于篇幅所限，具体的演算步骤在此省略，现将三变的结果列表如下：

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49根蓍草经过这样三变得到的结果36、32、28、24、20、16 除以 4 后，便得到了九、八、七、六、五、四六个筮数。

三、对演算方法的验算

此法本于“大衍之数”一章，也就自然而然地满足了已知条件（1）所提的“蓍草”占法，同时得到了九、八、七、六、五、四六个数字，也满足了已知条件（2）的要求，关于已知条件（3）的推想是否能实现，我们再来仔细考察一下。现将每一变结果的概率详细记录如下：

第一变：49，分成任意3组非重复数字组合的可能性有200例，结果有44和40两种，其中结果为44的 84例，概率为 84/200，即 42%；结果为 40的116例，概率为116/200，即58%。

第二变，分44和40两种情况。

44分成任意3组非重复数字组合的可能性有161例，结果有40、36和32三种，其中结果为40的36例，概率为36/161；结果为36的115例，概率为115/161；结果为32的10例，概率为10/161。

40分成任意3组非重复数字组合的可能性有133例，结果有36、32和28三种，其中结果为36的30例，概率为30/133；结果为32的 95例，概率为95/133；结果为28的8例，概率为8/133。

将这两种情况合计，此变结果为40的概率约为9.39%，36的概率约为 43.08%，32的概率约为44.04%，28的概率约为3.49%。

第三变，分40、36、32和28四种情况。

40分成任意3组非重复数字组合的可能性有133例，结果有36、32和28三种，其中结果为36的30例，概率为30/133；结果为32的95例，概率为95/133；结果为28的8例，概率为8/133。

36分成任意3组非重复数字组合的可能性有108例，结果有32、28和24三种，其中结果为32的25例，概率为25/108；结果为28的76例，概率为76/108；结果为24的7例，概率为7/108。

32分成任意3组非重复数字组合的可能性有85例，结果有28、24和20三种，其中结果为28的20例，概率为20/85；能得到24的60例，概率为60/85；能得到20的5例，概率为5/85。

28分成任意3组非重复数字组合的可能性有65例，结果有24、20和16三种，其中结果为24的16例，概率为16/65；结果为20的45例，概率为45/65；结果为16的8例，概率为4/65。

将三变的四种情况统计计算，则可得出六个筮数在理论上出现的概率：

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其中，阳爻九、七、五的概率总和为48.37%，阴爻八、六、四的概率总和为51.63%，阴阳爻比例基本平衡。七与六的概率总和为75.98%，其余四数依概率从高至低可排为八、五、九、四，这样的结果与已知条件（3）的推想基本吻合。需要特别关注的是四，概率仅有0.21%，这或许正是目前出土的实际占例中没有发现筮数四的原因所在。

四、余 论

我们知道，《史记·仲尼弟子列传》和《汉书·儒林传》都有孔门《易》学传于楚人馯臂的记载，通过对《筮法》内容的初步解析，我们认识到《筮法》与楚地出土的其他数字卦材料应属于同一个系统，而 《系辞》“大衍之数”章所述的占筮方法，又可以得出与之相应的筮数结果，说明《系辞》此章与楚地的占筮方法一定存在着一些传承关系，或许是孔门《易》学在楚地的蕃昌，也未可知。

[1]张政烺.易辨[A].文史:第二十四辑[C].北京:中华书局，1985.

[2]李学勤.清华简《筮法》与数字卦问题[J].文物，2013，（8）.

[3]马楠.清华简《筮法》二题[J].深圳大学学报（人文社会科学版），2014，（1）.

[4]李学勤.周易溯源[M].成都:巴蜀书社，2011.224-234.

[5]贾连翔.数字卦研究（未刊稿）.

[6]李学勤.清华简《筮法》与数字卦问题[J].文物，2013，（8）.

[7]王明钦.湖北江陵天星观楚简的初步研究 [D].北京:北京大学硕士学位论文，1989.

[8]程浩.清华简《筮法》占法拟测[J].深圳大学学报（人文社会科学版），2014，（1）.

[9]张政烺.试释周初青铜器铭文中的易卦[J].考古学报，1980，（4）.

[10]陈恩林.关于《周易》“大衍之数”的问题[J].中国哲学史，1998，（3）.

[11]李学勤.帛书《系辞》略论[J].齐鲁学刊，1989，（4）.

[12]高亨.周易大传今注[M].济南:齐鲁书社，1979.8.

[13]金景芳，吕绍刚.周易全解[M].上海:上海古籍出版社，2013.547.

2014-02-14

国家社科基金重大项目“清华简《系年》与古史新探”（10&ZD091）

贾连翔，清华大学历史系博士研究生，从事出土文献与先秦史研究。

【责任编辑：珞珈】