一类任意项级数敛散性的判别与分析

李丽容

摘 要 利用三角函数的诱导公式、正项级数敛散性的判别以及交错级数敛散性的判别法：莱布尼兹判别法给出了一道任意项级数条件收敛还是绝对收敛的判别方法，并由此推广到更一般的形式。

关键词 任意项级数 交错级数 莱布尼茨判别 诱导公式 收敛

中图分类号：O173 文献标识码：A

Discrimination and Analysis of a Class of

Progression of Convergence and Divergence

LI Lirong

（Department of Information， Zhongnan University of Economics and Law Wuhan College， Wuhan， Hubei 430070）

Abstract Trigonometric formulas use induction， the positive series convergence and divergence of discrimination and alternating series convergence and divergence of discrimination law： Leibniz Criterion any item gives a series of conditional convergence or absolute convergence of discrimination method， and thus extended to a more general form.

Key words progression； alternating series； Leibniz discrimination； induction formula； convergence

引入问题：讨论下列级数是绝对收敛还是条件收敛？

下面，我们将介绍这道题的解法并推广到更为一般的形式。

很显然，这是任意项级数，对任意项级数，我们有如下定义：

定义：若任意项级数通项的绝对值构成的级数∣∣收敛，则称级数为绝对收敛；若级数收敛而∣∣发散，则称为条件收敛。

对于数项级数，我们讨论了正项级数的收敛性问题，关于任意项级数的收敛性判别问题要比正项级数复杂，于是我们主要讨论某些特殊类型级数：交错级数的收敛性问题。

定义： 若级数的各项符合正负相间，即：

+…++… =

（>0，=1，2，3，4……）

则称级数为交错级数。

不作任何变形，该题就是一任意项级数，而且各项没有任何规律，但我们如果使用下面的三角函数诱导公式：

= ， =

该题就可作如下变形：

= （1）

= （2）

于是，我们就可以很明显地发现这是交错级数了，对于交错级数我们有：

定理 1：（交错级数收敛的必要条件）若交错级数（>0）

收敛，则有 = 0。

定理2：（莱布尼茨判别法）若交错级数满足下述两个条件：

（1） = 0；

（2）数列{}单调递减；

则该交错级数收敛。

本题完整解法：

因为 = （） =

是交错级数，且满足 =

∵是关于递减的，且0<<，而正弦函数[0，]在内是逐渐递增的，所以 = 是关于单调递减的，即>

又 = = 0

所以，由莱布尼茨判别法知该级数是收敛的。

另外，对于加了绝对值后的级数

有∽∽·，因为是发散的，故正项级数是发散的。

由此，可以判断原级数是条件收敛。

下面关于该解法有几点说明：

可能有人会问，该题不是有两种变形吗？还可作如下变形：（ + ） =

如果作这样变形我们可以解吗？又怎样解呢？解释如下：

①如果不是无穷小，级数本身就不收敛。利用（1）能判别的一个原因是：当→（即足够大时），∽∽·，而（2）不好直接判别的一个原因是：虽然 是无穷小（直接看不出来，要对三角函数变形为（1）类型才知道），但没有上面类似的结果，因为 →，故 与 是没有联系的，更谈不上等价了。

②判别正项级数的敛散性的一般方法是：求出的一种等价无穷小，由与同敛散。这就要求的形式简单而且易于判别，比如级数或等比级数。

并不是说（2）不能判别，是（2）不好直接判别，还是要将（2）变形为（1）后再判别。

比如，举个简单例子：判别（），因为不是无穷小，自然就不能用等价无穷小方法判别了，必须先变为（） = 再判别了。

总结及推广：由于上面的解法用了三角函数的诱导公式及共轭根式的有理化变形，因此我们可以将此题推广到更为一般的形式：

判断级数（）的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？

参考文献

[1] 华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].第3版.北京：高等教育出版社，2002.

[2] 华中科技大学高等数学课题组.微积分（第二版）[M].武汉：华中科技大学出版社，2009.

[3] 刘晓玲，张艳霞.交错级数收敛性的一个判别法[J].高等数学研究，2007.5：51-53.

[4] 张艳华.一道正项级数题目的多种解法[J].科技教育，2009.endprint