基于数学建模的收入定位模型研究

兰月新，李育安，苏国强

（中国人民武装警察部队学院 基础部，河北 廊坊 065000）

基于数学建模的收入定位模型研究

兰月新，李育安，苏国强

（中国人民武装警察部队学院 基础部，河北 廊坊 065000）

构建理想状态下收入定位的logistic模型和两极分化条件下的收入定位的Gompertz模型，定义分化系数并研究两极分化程度，通过计算模型关键点，确定中等收入等收入区间、对应人口比例及对应收入比例，并通过实验数据进行模型验证，定义了新的洛伦兹曲线，为深入研究经济理论、调节分配格局提供理论依据。

Gompertz模型；收入模型；两极分化；中等收入；人口比例；收入比例

一、引 言

居民收入分配关系到广大民众的生活水平，分配公平程度是广泛关注的话题，其中中等收入人口比重是反映收入分配格局的重要指标，这一人口比重越大，意味着收入分配结构越合理，称之为“橄榄型”收入分配格局。在这种收入分配格局下，收入差距不大，社会消费旺盛，人民生活水平高，社会稳定，因此研究中国中等收入定位问题具有重要意义。

国内外在中等收入者的度量方法上已有众多研究。Blackburn等采用劳动收入的中位数作为划分的依据，将中等收入者的收入下限定为中位数收入的0．6倍，上限定为中位数收入的2．25倍［1］；Levy将收入水平处于收入分布20%～80%的人口视为中等收入者［2］20－25［3］；Birdsall等定义人均家庭收 入在中位数收入的0．75倍和1．25倍之间的家庭为中等收入［4］；D′Ambrosio等利用变动点原理设定高、中、低收入阶层的门限值［5］；狄煌认为中等收入的下限应略高于当年人均GDP，接近职工平均工资水平，上限定为起点的4倍比较合理，以2002年的数据测算，中国中等收入者的年收入范围为1万～4万元［6］；Slimano则认为人均家庭收入处于30%～90%的家庭为中等收入［7］；Banerjee等则认为人均每天消费水平处于2～4美元和家庭平均每天消费水平处于6～10美元者为中等收入者［8］；段志民等立足于中等收入者的新定义，采用Esteban的极化分析思路，提出一种新的度量方法——EGR法［9－10］；

此外，中等收入人口的多少与两极分化的程度有关，所谓两极分化用密度函数表示时，严重右偏且厚尾，即中间部分空洞化。两极分化与收入不平等是不同的概念，Foster等对这两个概念进行了准确阐述，建立了一种指数，这种指数说明两极分化的大小或严重程度，该指数扩大意味着两极分化严重了，这时表示中等收入人口缩小了；反之若该指数缩小了，则意味着中等收入人口扩大了，但其并没有给出测算中等收入人口比例大小的方法［11］。

虽然中等收入测算方法已有较多的研究，但仍存在的不足主要有：（1）收入区间上限和下限的取法具有任意性，由于经济进步、通货膨胀等因素的影响，收入的区间是变化的，更多的情形是所有人口的收入都提高了，即全社会的收入区间右移，可见取法的任意性使得在纵向比较各年的中等收入人口时出现困难；（2）中等收入人口比例大多是人为约定，且不具备动态性，当收入分配发生变化时，比如收入范围拉大，低端人口收入下降，高端收入人口收入增加，直观上两极分化扩大了，也即中等收入人口应该是下降了，然而中间60%的人口拥有的总收入比例仍是60%，这与经济直观不符；（3）部分研究依据统计数据进行定性分析得出的规律应用于确定中等收入区间，统计数据依赖性强，对将来的预测研究以及国家之间横向对比研究缺乏支持。

区别于大部分研究中的统计建模方法，本文在研究收入、收入比例及对应人口比例相互关系基础上，建立微分方程模型来研究收入分配规律，通过模型分析确定中等收入区间及其对应比例，并进行数据验证分析，可以为制定合理的中等收入划分标准提供参考。

二、中等收入定位模型研究

（一）约定与假设

假设x为收入，p为［0，x］区间中人口比例，L为［0，x］区间中人口拥有的总收入比例。显然p＝p（x），L＝L（x），且均小于等于1。然而，在实际中，人口收入数据大多是调查统计得到的，是离散数据，不具有连续可微性，但由于事物发展变化的连续性以及有大量收入数据的支持，可以用连续函数来描述离散现象，所以本文假设p（x）、L（x）均为连续函数，以下简称p（x）为人口函数，L（x）为收入函数。

（二）收入分配的理想状态模型

洛伦兹曲线定义为“最贫穷的人口计算起一直到最富有人口”的人口百分比对应其收入百分比的点组成的曲线，即消去x后，得到的p、L之间的函数关系L（p）。图1中，曲线OA为洛伦兹曲线，直线OA为绝对平均分配，即理想收入状态，折线OBA为绝对不平均分配［12］。

图1 洛伦兹曲线图

图2 理想状态收入曲线图

通过模型分析，可以定义中等收入区间为［x1，x2］，其对应收入比例和人口比例均为57．74%；同理，可以得出低收入、高收入区间及对应比例，详见图3。通过此种方法确定收入区间避免了收入区间上限和下限的取法的任意性，从而使中等收入区间定义更加规范；另一方面，中等收入比例和人口比例均为57．74%，也与众多文献约定的60%相近，体现出本文建模结果与实际情况相符。

图3 收入分层及比例图

3．深入研究。然而，在实际情况中，理想状态模型很少出现。收入分配经验分析说明，人口曲线是左偏的，收入曲线是右偏的，这也就是两极分化的实质［13］。无论左偏还是右偏，理想模型曲线不再是对称的，但仍是“S”曲线，所以应用Gompertz曲线描述收入、人口曲线会更合理一些［14］。另外，为更好地说明两极分化程度，本文取人口曲线和收入曲线的拐点横坐标之差来定义分化系数，即：

其中x99%代表p（x）＝99%时的收入。显然F越小，两极分化程度越小，F＝0时为理想收入状态（图4）。

图4 两极分化示意图

（三）基于Gompertz的收入模型研究

1．Gompertz模型。在两极分化前提下，收入模型、人口模型宜用Gompertz模型，其模型一般形态为：

其中r＞0为最大增长率（定值，与经济模式有关），y0为初值。

本文确定中等收入及其对应人口比例的基本思想（图5）：首先，通过模型L（x）计算两个特征点x1、x2，确定中等收入区间［x1，x2］；其次，将x1、x2代入p（x）计算p（x1）、p（x2），确定中等收入人口比例范围［p（x1），p（x2）］。

图5 确定中等收入人口基本思想图

2．模型分析与研究。收入比例L（x）、人口比例p（x）的Gompertz模型为：

通过模型分析，可以得出中等收入区间为［x1，x2］，其对应收入比例为60．85%；同理，低收入所占收入比例为7．3%，高收入对应收入比例为31．75%（图6）。

综合以上，得出基于Gompertz模型的三种收入及其对应比例，见表1。

图6 L（x）中等收入区间及其对应收入比例

表1 收入空间分析

三、数据验证分析

（一）数据来源

实际工作中由于保密或保护隐私的原因，理论与应用分析人员不能获得收入分配抽样调查数据，能得到的可能是所谓的分组数据，这种数据的完整形式为：

其中xi是收入区间点，满足0≤x1＜x2＜…＜xn＜xn＋1，通常xn＋1理解为充分大的正数，pi是第i个低收入端的累计人口比例，Li是该人口组所拥有总收入的比例，［0，xi］是该人口组所在的收入区间，μ是平均收入。n通常不大，例如n＝10。很多国家只提供上式描述的数据，经济学界只能利用这种稀疏的信息进行收入分配分析。为验证模型，本文选取参考文献［15］中的数据（表2）研究模型。

表2中［Xj，Xj＋1］是收入区间，单位为元，fj是该区间内的人口比例，pj是［0，Xj＋1］中人口比例，Lj是［0，Xj＋1］中人口拥有的总收入比例，总平均收入μ＝6 603元。根据模型需要本文取收入区间［Xj，Xj＋1］的中点数据xj作为收入变量数据。

（二）模型验证

本文模型验证思路如图7所示。

表2 收入分配分组数据表

图7 模型验证思路图

应用Matlab拟合xj、pj、Lj数据，得出收入比例模型、人口比例模型为：

于是得出实验数据对应的收入情况见表3。通过表3得出：实验数据两极分化程度明显，主要体现在：低收入人口比例为31．29%，所占收入比例为7．3%，相差较大，15．59% 的高收入人口对应收入比例为31．75%，所占比例过高，而中等收入人口比例为53．12%，所占收入比例为60．85%，差距不大。

图8 曲线拟合效果图

表3 实验数据的收入空间分析表

四、结 论

本文通过构建微分方程模型，分别研究了理想状态下的收入模型、两极分化状态下的收入模型，计算了模型的特征点，确定了中等收入等三类收入的划分方法，解决了以前研究中区间设置随意性问题，并在此基础上研究三类收入对应的人口比例、收入比例及影响关键区间的参数，这一点便于深入研究经济理论，也为调节分配格局提供了理论依据。

［1］ Blackburn M，Bloom D．What is Happening to the Middle Class？［J］．Am．Demogr，1985，7（1）．

［2］ Levy F．Dollars and Dreams：The Changing American Income Distribution［M］．New York：Sage，1987．

［3］ Levy F．The Middle Class：Is It Really Vanishing？［J］．Brookings Rev．，1987（3）．

［4］ Birdsall N，Graham C，Pettinato S．Stuck in the Tunnel：Is Globalization Muddling the Middle Class？［R］．Brookings Institution，Center on Social and Economic Dynamics，Working Paper No．14，2000．

［5］ D′Ambrosio C，Muliere P，Secchi P．Income Thresholds and Income Classes［R］．Working Paper，University Bocconi，Milano，Italy，2002．

［6］ 狄煌．合理界定中等收入者［N］．经济参考报，2003－02－12（E2）．

［7］ Solimano A．The Middle Class and the Development Process［C］．Santiago Chile：Economic Commission for Latin America and Caribbean（ECLAC），2008．

［8］ Banerjee A，Duflo E．What is Middle Class about the Middle Classes around the World？［J］．Journal of Economic Perspective，2008，22（2）．

［9］ Esteban J，Gradin C，Ray D．Extensions of a Measure of Polarization，with an Application to the Income Distribution of Five OECD Countries［R］．Working Paper No．218，1999．

［10］段志民，白雪梅．中等收入者度量方法的比较研究［J］．调研世界，2013（8）．

［11］Foster J E，Wolfson M C．Polarization and the Decline of the Middle Class：Canada and the U．S．［J］．Journal of Economic Inequality，2009（8）．

［12］俞翰君．洛伦兹曲线的半参数估计［J］．统计与信息论坛，2013（5）．

［13］祁丹丹，王青．加入WTO以来我国农民收入变动趋势分析及收入预测［J］．西北农林科技大学学报：社会科学版，2011，11（2）．

［14］朱正元，陈伟侯，陈丰．Logistic曲线与 Gompertz曲线的比较研究［J］．数学实践与认识，2003，33（10）．

［15］全国研究生数学建模竞赛E题［EB／OL］．（2013－9－21）［2014－01－20］．http：／／www．nyjsmm．csu．edu．cn／phd／zlxz／140．html．

Research on Income Positioning Model Based on Mathematical Modeling

LAN Yue-xin，LI Yu-an，SU Guo-qiang

（Foundation Department，The Chinese People＇s Armed Police Forces Academy，Langfang 065000，China）

To construct the model of logistic positioning income under ideal condition and the Gompertz model under the condition of income polarization orientation，the definition of coefficient of differentiation of polarization degree，by calculating the key point，determine the middle-income income interval，corresponding to the proportion of the population and the corresponding income ratio，and model is validated by experimental data，the definition of a new Lorenz curve，for further research on the economic theory，provides the theory basis for adjusting distribution pattern．

Gompertz model；revenue model；polarization；middle income；population；income ratio

F224．0∶O212．1

A

1007－3116（2014）07－0035－06

2014－03－07

兰月新，男，河北承德人，理学硕士，讲师，研究方向：应用数学；

李育安，男，河北大悟人，经济学博士，副教授，研究方向：应用统计；

苏国强，男，河北文安人，理学硕士，教授，研究方向：应用数学。

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（责任编辑：崔国平）