重视培养学生的数学思想

杜正穗

摘 要：数学思想是数学教学的精髓和重要内容，是指导学生掌握数学知识和方法的灵魂，历来是数学教学的难点和重点，其形成广泛的迁移效果对学生影响深远。“授人以鱼不如授人以渔”。对几种常用的数学思想展开探讨，以期对切实提高学生的数学素养和能力有所裨益。

关键词：数学思想；函数；数形结合

中学数学内容广泛，且具有综合性、抽象性、新颖性的特点，对大部分学生来说，解题中容易出现思维障碍，解题效率低，从而影响学习兴趣、潜能和能动性。在数学学习中，单纯靠题海战术盲目操练是很难获得理想成绩的，学生必须将自己置于解题的更高境界，所谓更高境界是运用数学思想武装自己，并有效地加强攻击题型能力，以下重点介绍三种常用的数学思想。

一、函数与方程思想

1.函数思想：解决问题时在变量之间建立相应关系。高度抽象，离不开观察、概括、比较、分类，而逐步培养成严谨的逻辑思维，并应注意从变化中寻找不变量，这正是数学研究的魅力所在。对课本要做到：梳理教材知识结构，提炼结构组块，立足教材基本例题、习题，搞好变式研究。对教辅要做到：精心选择相应题型，加强对该思想合理性的使用。

2.方程思想：将待求量通过等量关系列出方程并解方程求值。具体而言是指从分析问题的数量关系入手，将问题中已知量和未知量之间的数量关系通过适当设立建立起方程（组），然后通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式。用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程（组），这种思想在代数、几何及生活实际中（如，最佳经济批量模型、一元线性回归法）有着广泛的应用。

3.函数与方程思想：数学问题简单归纳是由等式或不等式构成，所以将两者有机的结合有利于培养学生具有良好的数学素质和严密的逻辑思维能力，并通过适量题型（实际应用可举量本利分析）真正领悟其真谛。

例1.已知圆（x-2）2+y2=0，满足该圆上一点，使 x+y最大值为p，最小值为q，求p-q的值。提出问题后，可通过学生解题状况来进行讲解、分析，从而让学生发现自己存在的问题，以及对知识点掌握的牢固情况与运用水平的高低。分析问题时，可把直线与圆的相关知识点作详尽地描述。攻击点是直线，主看其斜率、截距是否变化，是否有通过一个定点进行控制的方法。圆写成标准圆结构，相当于控制住圆心与半径，这种形式对于攻击相关题型具有致命功效。解决问题可设：b= x+y，并将其写成直线l：y=- x+b，就是一个斜率不变，纵截距为b，只能平行移动的直线。当直线l与圆相切时获得该题最值，利用圆心（2，0）到直线l： x+y-b=0的距离等于半径，获得方程，解出b的两个值，从而得出结论。

二、化归与转化思想

1.所谓化归思想是把分散知识相对集中到同一高度、类别、图形，从把握基础知识和教材题目抓实，才能解决新定义、新概念的创新问题，才能够站在一定高度解决问题。

2.所谓转化思想是把复杂问题转化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题，把抽象问题转化为具体问题，把新颖问题转化为原始问题，把未解决的问题转化到已解决问题的思想。同样上面这道例题就可用化归与转化思想进行演绎：由已知条件可设x-2=cosθ，y=sinθ，将 x+y转化成 （cosθ+2）+sinθ，复合成一个三角函数同样也能得出结论。可以从代数推理写成b= （cosθ+2）+sinθ构建函数思想，体现出数学不仅仅是一种重要的工具或方法，更重要的是一种思维模式，表现为数学思想及能力的有机结合，其培养要分层次进行，先由基础开始，逐步提高数学素养与运算求解能力，进而掌握好化归与转化思想。

三、数形结合思想

解决问题时，代数问题中的“数”与几何问题中的“形”有机地结合起来，借助于数的精确性来阐明“形”或利用“形”的几何直观性表示数，总而言之“数可入微，形很直观”，这就是数形结合思想。从图象特征出发可以实现数与形的自然结合，也正是中学数学教学中一种非常重要的思想方法（如实际应用中的盈亏平衡点）。以下侧重从解析几何、代数函数这两方面浅谈数形结合思想。

1.解析几何：紧扣其（直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线）定义，以线段为主攻的知识体系，继续用上面例题，由直线y=-x+b获取其倾斜角为120°。如图所示，快速获取结论p-q=4，从知识角度而言，这种功效就需要对平时知识点的累积和充分理解，是培养学生创造性、主动性、能动性最有力的数学工具之一。

2.代数函数：控制其范围，利用其性质破解出图象（指数函数、对数函数、幂函数的组合函数），范围、性质、图象三者要有机结合，有多少范围就有多少图象，就反映多少性质，三者兼顾将代数函数高度抽象性破击得体无完肤。

例2.已知f（x）=x+，求f（x）单调区间，提出问题可培养学生动脑、动手、动口，大胆尝试开发探索新方法、新思想，从而发现问题，分析问题。此题f（x）范围为x

对于三角函数、平面向量、不等式等问题，数形结合依然有高屋建瓴之态势。古人云“会当凌绝顶，一览众山小”，数学思想是数学知识在更高层次的抽象和概括，它蕴涵在数学知识的获取、发展和应用的过程中。如果说数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，那么数学思想则是数学意识的中流砥柱，只能领会、运用，属于思维的范畴。

数学知识，源于课本，高于课本，要狠抓“知识、能力、训练、提高”四大环节，学生的数学思想才会在真正意义上有所获取。创新是一个民族的灵魂，学生可以通过新颖题型（图表分析型、条件开放型、定义新知型、学科综合型、代数推理型等）逐步体会，解决新颖题型关键在于“饮水思源”，即通过定性分析、列举尝试、归纳猜想、类比转化、检验探索、构造模型等策略探寻新问题的原始模型，进而使数学思想发挥得淋漓尽致，更上一层楼。

数学思想还有分类讨论、特殊与一般、反面入手等。建议：要注重学科知识交汇与综合、强调运算能力、深入挖掘教材，充分发挥课本典型问题的辐射作用，多对例题进行拓展和引申，最后就是要加强数学思想方法的训练，锻炼学生思维的广度和深度、灵活性和独创性，提高对知识的整合能力。

（作者单位 广东省广州市商贸职业学校）

编辑 郭晓云

摘 要：数学思想是数学教学的精髓和重要内容，是指导学生掌握数学知识和方法的灵魂，历来是数学教学的难点和重点，其形成广泛的迁移效果对学生影响深远。“授人以鱼不如授人以渔”。对几种常用的数学思想展开探讨，以期对切实提高学生的数学素养和能力有所裨益。

关键词：数学思想；函数；数形结合

中学数学内容广泛，且具有综合性、抽象性、新颖性的特点，对大部分学生来说，解题中容易出现思维障碍，解题效率低，从而影响学习兴趣、潜能和能动性。在数学学习中，单纯靠题海战术盲目操练是很难获得理想成绩的，学生必须将自己置于解题的更高境界，所谓更高境界是运用数学思想武装自己，并有效地加强攻击题型能力，以下重点介绍三种常用的数学思想。

一、函数与方程思想

1.函数思想：解决问题时在变量之间建立相应关系。高度抽象，离不开观察、概括、比较、分类，而逐步培养成严谨的逻辑思维，并应注意从变化中寻找不变量，这正是数学研究的魅力所在。对课本要做到：梳理教材知识结构，提炼结构组块，立足教材基本例题、习题，搞好变式研究。对教辅要做到：精心选择相应题型，加强对该思想合理性的使用。

2.方程思想：将待求量通过等量关系列出方程并解方程求值。具体而言是指从分析问题的数量关系入手，将问题中已知量和未知量之间的数量关系通过适当设立建立起方程（组），然后通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式。用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程（组），这种思想在代数、几何及生活实际中（如，最佳经济批量模型、一元线性回归法）有着广泛的应用。

3.函数与方程思想：数学问题简单归纳是由等式或不等式构成，所以将两者有机的结合有利于培养学生具有良好的数学素质和严密的逻辑思维能力，并通过适量题型（实际应用可举量本利分析）真正领悟其真谛。

例1.已知圆（x-2）2+y2=0，满足该圆上一点，使 x+y最大值为p，最小值为q，求p-q的值。提出问题后，可通过学生解题状况来进行讲解、分析，从而让学生发现自己存在的问题，以及对知识点掌握的牢固情况与运用水平的高低。分析问题时，可把直线与圆的相关知识点作详尽地描述。攻击点是直线，主看其斜率、截距是否变化，是否有通过一个定点进行控制的方法。圆写成标准圆结构，相当于控制住圆心与半径，这种形式对于攻击相关题型具有致命功效。解决问题可设：b= x+y，并将其写成直线l：y=- x+b，就是一个斜率不变，纵截距为b，只能平行移动的直线。当直线l与圆相切时获得该题最值，利用圆心（2，0）到直线l： x+y-b=0的距离等于半径，获得方程，解出b的两个值，从而得出结论。

二、化归与转化思想

1.所谓化归思想是把分散知识相对集中到同一高度、类别、图形，从把握基础知识和教材题目抓实，才能解决新定义、新概念的创新问题，才能够站在一定高度解决问题。

2.所谓转化思想是把复杂问题转化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题，把抽象问题转化为具体问题，把新颖问题转化为原始问题，把未解决的问题转化到已解决问题的思想。同样上面这道例题就可用化归与转化思想进行演绎：由已知条件可设x-2=cosθ，y=sinθ，将 x+y转化成 （cosθ+2）+sinθ，复合成一个三角函数同样也能得出结论。可以从代数推理写成b= （cosθ+2）+sinθ构建函数思想，体现出数学不仅仅是一种重要的工具或方法，更重要的是一种思维模式，表现为数学思想及能力的有机结合，其培养要分层次进行，先由基础开始，逐步提高数学素养与运算求解能力，进而掌握好化归与转化思想。

三、数形结合思想

解决问题时，代数问题中的“数”与几何问题中的“形”有机地结合起来，借助于数的精确性来阐明“形”或利用“形”的几何直观性表示数，总而言之“数可入微，形很直观”，这就是数形结合思想。从图象特征出发可以实现数与形的自然结合，也正是中学数学教学中一种非常重要的思想方法（如实际应用中的盈亏平衡点）。以下侧重从解析几何、代数函数这两方面浅谈数形结合思想。

1.解析几何：紧扣其（直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线）定义，以线段为主攻的知识体系，继续用上面例题，由直线y=-x+b获取其倾斜角为120°。如图所示，快速获取结论p-q=4，从知识角度而言，这种功效就需要对平时知识点的累积和充分理解，是培养学生创造性、主动性、能动性最有力的数学工具之一。

2.代数函数：控制其范围，利用其性质破解出图象（指数函数、对数函数、幂函数的组合函数），范围、性质、图象三者要有机结合，有多少范围就有多少图象，就反映多少性质，三者兼顾将代数函数高度抽象性破击得体无完肤。

例2.已知f（x）=x+，求f（x）单调区间，提出问题可培养学生动脑、动手、动口，大胆尝试开发探索新方法、新思想，从而发现问题，分析问题。此题f（x）范围为x

对于三角函数、平面向量、不等式等问题，数形结合依然有高屋建瓴之态势。古人云“会当凌绝顶，一览众山小”，数学思想是数学知识在更高层次的抽象和概括，它蕴涵在数学知识的获取、发展和应用的过程中。如果说数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，那么数学思想则是数学意识的中流砥柱，只能领会、运用，属于思维的范畴。

数学知识，源于课本，高于课本，要狠抓“知识、能力、训练、提高”四大环节，学生的数学思想才会在真正意义上有所获取。创新是一个民族的灵魂，学生可以通过新颖题型（图表分析型、条件开放型、定义新知型、学科综合型、代数推理型等）逐步体会，解决新颖题型关键在于“饮水思源”，即通过定性分析、列举尝试、归纳猜想、类比转化、检验探索、构造模型等策略探寻新问题的原始模型，进而使数学思想发挥得淋漓尽致，更上一层楼。

数学思想还有分类讨论、特殊与一般、反面入手等。建议：要注重学科知识交汇与综合、强调运算能力、深入挖掘教材，充分发挥课本典型问题的辐射作用，多对例题进行拓展和引申，最后就是要加强数学思想方法的训练，锻炼学生思维的广度和深度、灵活性和独创性，提高对知识的整合能力。

（作者单位 广东省广州市商贸职业学校）

编辑 郭晓云

摘 要：数学思想是数学教学的精髓和重要内容，是指导学生掌握数学知识和方法的灵魂，历来是数学教学的难点和重点，其形成广泛的迁移效果对学生影响深远。“授人以鱼不如授人以渔”。对几种常用的数学思想展开探讨，以期对切实提高学生的数学素养和能力有所裨益。

关键词：数学思想；函数；数形结合

中学数学内容广泛，且具有综合性、抽象性、新颖性的特点，对大部分学生来说，解题中容易出现思维障碍，解题效率低，从而影响学习兴趣、潜能和能动性。在数学学习中，单纯靠题海战术盲目操练是很难获得理想成绩的，学生必须将自己置于解题的更高境界，所谓更高境界是运用数学思想武装自己，并有效地加强攻击题型能力，以下重点介绍三种常用的数学思想。

一、函数与方程思想

1.函数思想：解决问题时在变量之间建立相应关系。高度抽象，离不开观察、概括、比较、分类，而逐步培养成严谨的逻辑思维，并应注意从变化中寻找不变量，这正是数学研究的魅力所在。对课本要做到：梳理教材知识结构，提炼结构组块，立足教材基本例题、习题，搞好变式研究。对教辅要做到：精心选择相应题型，加强对该思想合理性的使用。

2.方程思想：将待求量通过等量关系列出方程并解方程求值。具体而言是指从分析问题的数量关系入手，将问题中已知量和未知量之间的数量关系通过适当设立建立起方程（组），然后通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式。用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程（组），这种思想在代数、几何及生活实际中（如，最佳经济批量模型、一元线性回归法）有着广泛的应用。

3.函数与方程思想：数学问题简单归纳是由等式或不等式构成，所以将两者有机的结合有利于培养学生具有良好的数学素质和严密的逻辑思维能力，并通过适量题型（实际应用可举量本利分析）真正领悟其真谛。

例1.已知圆（x-2）2+y2=0，满足该圆上一点，使 x+y最大值为p，最小值为q，求p-q的值。提出问题后，可通过学生解题状况来进行讲解、分析，从而让学生发现自己存在的问题，以及对知识点掌握的牢固情况与运用水平的高低。分析问题时，可把直线与圆的相关知识点作详尽地描述。攻击点是直线，主看其斜率、截距是否变化，是否有通过一个定点进行控制的方法。圆写成标准圆结构，相当于控制住圆心与半径，这种形式对于攻击相关题型具有致命功效。解决问题可设：b= x+y，并将其写成直线l：y=- x+b，就是一个斜率不变，纵截距为b，只能平行移动的直线。当直线l与圆相切时获得该题最值，利用圆心（2，0）到直线l： x+y-b=0的距离等于半径，获得方程，解出b的两个值，从而得出结论。

二、化归与转化思想

1.所谓化归思想是把分散知识相对集中到同一高度、类别、图形，从把握基础知识和教材题目抓实，才能解决新定义、新概念的创新问题，才能够站在一定高度解决问题。

2.所谓转化思想是把复杂问题转化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题，把抽象问题转化为具体问题，把新颖问题转化为原始问题，把未解决的问题转化到已解决问题的思想。同样上面这道例题就可用化归与转化思想进行演绎：由已知条件可设x-2=cosθ，y=sinθ，将 x+y转化成 （cosθ+2）+sinθ，复合成一个三角函数同样也能得出结论。可以从代数推理写成b= （cosθ+2）+sinθ构建函数思想，体现出数学不仅仅是一种重要的工具或方法，更重要的是一种思维模式，表现为数学思想及能力的有机结合，其培养要分层次进行，先由基础开始，逐步提高数学素养与运算求解能力，进而掌握好化归与转化思想。

三、数形结合思想

解决问题时，代数问题中的“数”与几何问题中的“形”有机地结合起来，借助于数的精确性来阐明“形”或利用“形”的几何直观性表示数，总而言之“数可入微，形很直观”，这就是数形结合思想。从图象特征出发可以实现数与形的自然结合，也正是中学数学教学中一种非常重要的思想方法（如实际应用中的盈亏平衡点）。以下侧重从解析几何、代数函数这两方面浅谈数形结合思想。

1.解析几何：紧扣其（直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线）定义，以线段为主攻的知识体系，继续用上面例题，由直线y=-x+b获取其倾斜角为120°。如图所示，快速获取结论p-q=4，从知识角度而言，这种功效就需要对平时知识点的累积和充分理解，是培养学生创造性、主动性、能动性最有力的数学工具之一。

2.代数函数：控制其范围，利用其性质破解出图象（指数函数、对数函数、幂函数的组合函数），范围、性质、图象三者要有机结合，有多少范围就有多少图象，就反映多少性质，三者兼顾将代数函数高度抽象性破击得体无完肤。

例2.已知f（x）=x+，求f（x）单调区间，提出问题可培养学生动脑、动手、动口，大胆尝试开发探索新方法、新思想，从而发现问题，分析问题。此题f（x）范围为x

对于三角函数、平面向量、不等式等问题，数形结合依然有高屋建瓴之态势。古人云“会当凌绝顶，一览众山小”，数学思想是数学知识在更高层次的抽象和概括，它蕴涵在数学知识的获取、发展和应用的过程中。如果说数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，那么数学思想则是数学意识的中流砥柱，只能领会、运用，属于思维的范畴。

数学知识，源于课本，高于课本，要狠抓“知识、能力、训练、提高”四大环节，学生的数学思想才会在真正意义上有所获取。创新是一个民族的灵魂，学生可以通过新颖题型（图表分析型、条件开放型、定义新知型、学科综合型、代数推理型等）逐步体会，解决新颖题型关键在于“饮水思源”，即通过定性分析、列举尝试、归纳猜想、类比转化、检验探索、构造模型等策略探寻新问题的原始模型，进而使数学思想发挥得淋漓尽致，更上一层楼。

数学思想还有分类讨论、特殊与一般、反面入手等。建议：要注重学科知识交汇与综合、强调运算能力、深入挖掘教材，充分发挥课本典型问题的辐射作用，多对例题进行拓展和引申，最后就是要加强数学思想方法的训练，锻炼学生思维的广度和深度、灵活性和独创性，提高对知识的整合能力。

（作者单位 广东省广州市商贸职业学校）

编辑 郭晓云