重视合情推理发展推理能力

黄宁宇

《多边形的面积》是人教版数学五年级上册的教学内容，它属于“图形与几何”领域的重要内容。“图形与几何”板块的最重要教学目标之一就是发展空间观念和发展推理能力。2011版《小学数学新课标》中更明确指出：推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，那怎样发展学生的推理能力呢？在教学实践中，我做了一些尝试和探索。

刚讲完《梯形的面积》时，我出示了下题：一块梯形田地的下底是35米，上底是25米，面积是1080平方米，这块田地的高是多少米？本来我是想以梯形的面积公式为等量关系式列方程解答的。谁知，刚一出示这题，一只小手就高高地举起，于是我就请这名学生到黑板上书写。下面是他的解答过程：h=2S÷（a+b）=2×1080÷（25+35）=

2160÷60=36（米）。等下面的学生基本上做好了后，我问这位学生：这个公式老师又没教过，你是怎么想到这样来求梯形的高呢？该生回答：三角形的面积公式是S=ah÷2，要除以2。梯形的面积公式是S=（a+b）h÷2，也要除以2。老师在前面还讲过了求三角形的高可以用公式h=2S÷a，所以我就猜想出用公式h=2S÷（a+b）来求梯形的高。我一听，心中惊喜不已：学生竟然能从三角形和梯形面积公式的相同之处，由已知的求三角形的高的公式合情地推理出未知的求梯形高的公式，多强的推理能力啊！我连忙追问：你能不能具体推导出这个公式？或者你能够用别的方法来验证用这个公式求出来的高对不对呢？该生说：我还可以列方程解答，设这块田地的高是x米，根据梯形的面积公式可列方程（25+35）x÷2=1080，60x÷2=1080，x=36，求出来的高也是36米。我说：“你用两种方法求出来的高都是36米，说明你前面猜想的公式是完全对的。你真了不起，能触类旁通，合情地推理！”在上面的教学中，我非常重视合情推理能力的培养，即使学生的这些合情推理是错误的，“错误也是一种学习资源”。而且我认为，合情推理和演绎推理功能不同，它们相辅相成。

班上还有两个学生也是这样列式的，但他们都不能具体推导出这个公式。看来，学生是“心有所感触而苦于口不能言”，不知“其所以然”。于是我干脆改变原来的教学计划，引导学生探究平行四边形、三角形、梯形的面积公式之间的内在联系，帮助学生构建完整的知识体系。

我先在黑板上画好了方格图，在方格图中画了一个上底2厘米，下底4厘米，高4厘米的梯形，再画了一个上底1厘米，下底5厘米，高4厘米的梯形。我问：这两个梯形之间有什么相同的地方？学生通过观察和计算可以发现两个梯形的高和面积都相等。我又问：第一个梯形的上底缩短1厘米，把这1厘米补到下底上，就变成了第二个梯形，它的面积没有变是因为什么没有变？大部分学生发现高相等的梯形，如果上底和下底的和不变，那么面积也不变。我指着第二个梯形问：如果再把上底缩短1厘米，还把这1厘米补到下底上，那上底变成什么？整个图形变成什么？它的面积又是多少？在学生思考、想象和交流后，我边画图边归纳：这时梯形的上底消失了，变成了一个点，图形由梯形变成了三角形，而且三角形的底就等于原梯形上底和下底的和，高就是原梯形的高，所以三角形的面积会等于梯形的面积。我再次追问：在高相等时，什么情况下三角形的面积会等于梯形的面积？对照后两个图形及三角形面积公式S=ah÷2、梯形面积公式S=（a+b）h÷2，学生纷纷发言，说：只要三角形的底会等于梯形上底和下底的和，面积就会相等。我趁机又问：那三角形可以看做是上底为几的梯形？也就是梯形的上底是几时，梯形的面积公式和三角形的面积公式可以合二为一，相互通用？经过上面的学习和思考交流，学生很自然地想到三角形可以看做是上底为0的特殊梯形，这样两个面积公式实质上就可以用一个公式S=（a+b）h÷2来表示。因此，求三角形高的公式h=2S÷a也就是求梯形高的公式h=2S÷（a+b）的特殊情形，两者实质上也是同一个公式。所以，上面那位学生的猜想是完全对的，他是从特殊推向一般！

那梯形与平行四边形的面积公式之间又有什么关系呢？同样一个上底2厘米，下底4厘米，高4厘米的梯形，把下底的1厘米移补到上底，那上底就与下底相等，都是3厘米，梯形就变成了一个平行四边形。从上面的学习可知，梯形的面积会等于平行四边形的面积，也就是说平行四边形的面积其实也可以用（上底+下底）×高÷2来计算，特别是平行四边形的上底等于下底，（上底+下底）÷2就等于底，而高不变，即S=（a+b）h÷2=（a+b）÷2×h=ah，而S=ah就是平行四边形的面积公式。因此，平行四边形的面积和梯形的面积都可以用S=（a+b）h÷2来计算。

这样，平行四边形、三角形、梯形的面积公式都可以用S=（a+b）h÷2来表示，而长方形和正方形都是特殊的平行四边形，自然它们的面积都可以像梯形一样，用S=（a+b）h÷2来计算。在这节课中，我将这些零散而又相关的知识梳理成结构化的知识体系，丰富了学生的认知，促进知识的迁移，培养了学生的推理能力，发展了学生的思维。

总之，在课堂教学中我们要重视合情推理，培养学生在解决问题中直观地、合情地获得一些结果的意识，切实提高学生的推理能力。因为这是数学创造的根本，是得到新结果的主要途径。

（作者单位：江西省金溪县实验小学）