“利用频率估计概率”用处大

陈世亨

同学们，我们知道，在日常生活中，有很多事情我们事先无法肯定它会不会发生，这样的事件就是随机事件. 对于一个随机事件来说，它发生的可能性的大小是由它自身决定的，并且是客观存在的，就好比一根木棒有长度、一块土地有面积一样. 概率是随机事件发生可能性大小的度量，求某事件的概率的实质与测量长度和面积一样平常. 在实际操作中，我们可以用频率估计概率. 虽然谁也无法预测随机事件在每次试验中是否会发生，但是在相同的条件下进行多次重复试验后，一个随机事件发生的频率会在一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减少，这个性质称为频率的稳定性. 人们常把试验次数n很大时事件发生的频率作为其概率的估计值.

例如，抛掷一枚质地均匀的硬币，当试验次数较少的时候，“正面朝上”的频率有可能是0，也有可能是1或0与1之间的其他数值，但从义务教育教科书苏科版《数学》七年级下册第46页上“统计学家历次做‘抛掷质地均匀的硬币试验的结果”表中可以看出，随机事件“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上”发生与否具有随机性，在不同试验中，同一个事件发生的频率可以彼此不相等，但是在相同条件下进行多次重复试验后，“正面朝上”的频率会稳定在0.5左右. 其实，抛掷质地均匀的硬币“正面朝上”的概率为0.5. 利用随机事件的频率来估计它的概率可以解决一类概率问题.

首先，同学们对频率和概率的关系要有正确的理解.

例1 下列说法正确的是（ ）.

A. 一颗质地均匀的骰子已连续掷了2 000次，其中抛掷出5点的次数最少，则第2 001次一定抛掷出5点

B. 某种彩票中奖的概率是1%，因此买100 张该种彩票一定会中奖

C. 明天降雨的概率是80%，表示明天有80%的时间降雨

D. 抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等

解：A、B、C中的事件都是随机事件，故 A、B、C均是错误的. A选项试验中的每一次的抛掷都是相互独立的，第2 001次的抛掷与前面的试验结果没有任何关系. 有学生认为前2 000次试验中5点次数最少，而平时老师所讲的各点出现的机会是均等的，所以产生了从总体上来看这一次出现5点的可能性极大的错觉. B选项和C选项都是错误认为概率等同于频率. D选项中，钉尖触地与钉尖朝上并不是等可能性的， 因此出现的概率不相等. 故选D.

频率与概率是有差别的，随机事件出现的频率也是随机的，当实验次数很多时， 它接近该事件的概率. 因此，我们可利用它计算概率，但它并不就是该事件的概率. 任何一个随机事件的概率都是一个定值.

那么，用频率估计概率的一般步骤有哪些呢？下面这个问题一定能给我们启发.

（1） 请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近_______.

（2） 假如你去摸一次，你摸到白球的概率是______，摸到黑球的概率是______.

（3） 试估算口袋中黑白两种颜色的球各有多少只？

（4） 解决了上面的问题后，小明猛然醒悟，过去一个悬而未决的问题有办法解决了. 这个问题是：在一个不透明的口袋里装有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，如何估计白球的个数（可借助其他工具及用品）. 请你写出解决这个问题的主要步骤及估算方法.

在现实生活中，能够直接计算概率的事件极为有限，多数情况下要通过观察和试验. 必须在相等条件下，用简单易行的试验来代替不易实行操作或不可能实际操作的试验.

通过上述解题思路，可以解决生活中的一些实际问题，我们来看下面这个问题.

例3 王老汉想把自家鱼塘里的鱼卖给客户，为了与客户签订购销合同，想对自己鱼塘中鱼的总质量进行估计，请你运用概率的知识帮他设计一个方法，估计鱼塘中有多少条鱼？共大约多少千克？

池塘里每一条鱼被捞出来的机会是相同的，做了记号的鱼占鱼群的比例，与捞出的做了记号的鱼和捞出鱼数的比值应当一致，由此可估计池塘中鱼的条数，从而得出鱼的总重量.

总之，频率是试验数据，是变化的，而概率是理论数据，是确定的. 频率在一定程度上反映了随机事件发生的可能性的大小，当试验次数大量且重复时，其值在某一个常数附近摆动，这个常数作为概率的估计值. 利用频率估计概率对解决实际问题有很大作用.

（作者单位：江苏省常州市兰陵中学）endprint

同学们，我们知道，在日常生活中，有很多事情我们事先无法肯定它会不会发生，这样的事件就是随机事件. 对于一个随机事件来说，它发生的可能性的大小是由它自身决定的，并且是客观存在的，就好比一根木棒有长度、一块土地有面积一样. 概率是随机事件发生可能性大小的度量，求某事件的概率的实质与测量长度和面积一样平常. 在实际操作中，我们可以用频率估计概率. 虽然谁也无法预测随机事件在每次试验中是否会发生，但是在相同的条件下进行多次重复试验后，一个随机事件发生的频率会在一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减少，这个性质称为频率的稳定性. 人们常把试验次数n很大时事件发生的频率作为其概率的估计值.

例如，抛掷一枚质地均匀的硬币，当试验次数较少的时候，“正面朝上”的频率有可能是0，也有可能是1或0与1之间的其他数值，但从义务教育教科书苏科版《数学》七年级下册第46页上“统计学家历次做‘抛掷质地均匀的硬币试验的结果”表中可以看出，随机事件“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上”发生与否具有随机性，在不同试验中，同一个事件发生的频率可以彼此不相等，但是在相同条件下进行多次重复试验后，“正面朝上”的频率会稳定在0.5左右. 其实，抛掷质地均匀的硬币“正面朝上”的概率为0.5. 利用随机事件的频率来估计它的概率可以解决一类概率问题.

首先，同学们对频率和概率的关系要有正确的理解.

例1 下列说法正确的是（ ）.

A. 一颗质地均匀的骰子已连续掷了2 000次，其中抛掷出5点的次数最少，则第2 001次一定抛掷出5点

B. 某种彩票中奖的概率是1%，因此买100 张该种彩票一定会中奖

C. 明天降雨的概率是80%，表示明天有80%的时间降雨

D. 抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等

解：A、B、C中的事件都是随机事件，故 A、B、C均是错误的. A选项试验中的每一次的抛掷都是相互独立的，第2 001次的抛掷与前面的试验结果没有任何关系. 有学生认为前2 000次试验中5点次数最少，而平时老师所讲的各点出现的机会是均等的，所以产生了从总体上来看这一次出现5点的可能性极大的错觉. B选项和C选项都是错误认为概率等同于频率. D选项中，钉尖触地与钉尖朝上并不是等可能性的， 因此出现的概率不相等. 故选D.

频率与概率是有差别的，随机事件出现的频率也是随机的，当实验次数很多时， 它接近该事件的概率. 因此，我们可利用它计算概率，但它并不就是该事件的概率. 任何一个随机事件的概率都是一个定值.

那么，用频率估计概率的一般步骤有哪些呢？下面这个问题一定能给我们启发.

（1） 请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近_______.

（2） 假如你去摸一次，你摸到白球的概率是______，摸到黑球的概率是______.

（3） 试估算口袋中黑白两种颜色的球各有多少只？

（4） 解决了上面的问题后，小明猛然醒悟，过去一个悬而未决的问题有办法解决了. 这个问题是：在一个不透明的口袋里装有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，如何估计白球的个数（可借助其他工具及用品）. 请你写出解决这个问题的主要步骤及估算方法.

在现实生活中，能够直接计算概率的事件极为有限，多数情况下要通过观察和试验. 必须在相等条件下，用简单易行的试验来代替不易实行操作或不可能实际操作的试验.

通过上述解题思路，可以解决生活中的一些实际问题，我们来看下面这个问题.

例3 王老汉想把自家鱼塘里的鱼卖给客户，为了与客户签订购销合同，想对自己鱼塘中鱼的总质量进行估计，请你运用概率的知识帮他设计一个方法，估计鱼塘中有多少条鱼？共大约多少千克？

池塘里每一条鱼被捞出来的机会是相同的，做了记号的鱼占鱼群的比例，与捞出的做了记号的鱼和捞出鱼数的比值应当一致，由此可估计池塘中鱼的条数，从而得出鱼的总重量.

总之，频率是试验数据，是变化的，而概率是理论数据，是确定的. 频率在一定程度上反映了随机事件发生的可能性的大小，当试验次数大量且重复时，其值在某一个常数附近摆动，这个常数作为概率的估计值. 利用频率估计概率对解决实际问题有很大作用.

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同学们，我们知道，在日常生活中，有很多事情我们事先无法肯定它会不会发生，这样的事件就是随机事件. 对于一个随机事件来说，它发生的可能性的大小是由它自身决定的，并且是客观存在的，就好比一根木棒有长度、一块土地有面积一样. 概率是随机事件发生可能性大小的度量，求某事件的概率的实质与测量长度和面积一样平常. 在实际操作中，我们可以用频率估计概率. 虽然谁也无法预测随机事件在每次试验中是否会发生，但是在相同的条件下进行多次重复试验后，一个随机事件发生的频率会在一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减少，这个性质称为频率的稳定性. 人们常把试验次数n很大时事件发生的频率作为其概率的估计值.

例如，抛掷一枚质地均匀的硬币，当试验次数较少的时候，“正面朝上”的频率有可能是0，也有可能是1或0与1之间的其他数值，但从义务教育教科书苏科版《数学》七年级下册第46页上“统计学家历次做‘抛掷质地均匀的硬币试验的结果”表中可以看出，随机事件“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上”发生与否具有随机性，在不同试验中，同一个事件发生的频率可以彼此不相等，但是在相同条件下进行多次重复试验后，“正面朝上”的频率会稳定在0.5左右. 其实，抛掷质地均匀的硬币“正面朝上”的概率为0.5. 利用随机事件的频率来估计它的概率可以解决一类概率问题.

首先，同学们对频率和概率的关系要有正确的理解.

例1 下列说法正确的是（ ）.

A. 一颗质地均匀的骰子已连续掷了2 000次，其中抛掷出5点的次数最少，则第2 001次一定抛掷出5点

B. 某种彩票中奖的概率是1%，因此买100 张该种彩票一定会中奖

C. 明天降雨的概率是80%，表示明天有80%的时间降雨

D. 抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等

解：A、B、C中的事件都是随机事件，故 A、B、C均是错误的. A选项试验中的每一次的抛掷都是相互独立的，第2 001次的抛掷与前面的试验结果没有任何关系. 有学生认为前2 000次试验中5点次数最少，而平时老师所讲的各点出现的机会是均等的，所以产生了从总体上来看这一次出现5点的可能性极大的错觉. B选项和C选项都是错误认为概率等同于频率. D选项中，钉尖触地与钉尖朝上并不是等可能性的， 因此出现的概率不相等. 故选D.

频率与概率是有差别的，随机事件出现的频率也是随机的，当实验次数很多时， 它接近该事件的概率. 因此，我们可利用它计算概率，但它并不就是该事件的概率. 任何一个随机事件的概率都是一个定值.

那么，用频率估计概率的一般步骤有哪些呢？下面这个问题一定能给我们启发.

（1） 请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近_______.

（2） 假如你去摸一次，你摸到白球的概率是______，摸到黑球的概率是______.

（3） 试估算口袋中黑白两种颜色的球各有多少只？

（4） 解决了上面的问题后，小明猛然醒悟，过去一个悬而未决的问题有办法解决了. 这个问题是：在一个不透明的口袋里装有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，如何估计白球的个数（可借助其他工具及用品）. 请你写出解决这个问题的主要步骤及估算方法.

在现实生活中，能够直接计算概率的事件极为有限，多数情况下要通过观察和试验. 必须在相等条件下，用简单易行的试验来代替不易实行操作或不可能实际操作的试验.

通过上述解题思路，可以解决生活中的一些实际问题，我们来看下面这个问题.

例3 王老汉想把自家鱼塘里的鱼卖给客户，为了与客户签订购销合同，想对自己鱼塘中鱼的总质量进行估计，请你运用概率的知识帮他设计一个方法，估计鱼塘中有多少条鱼？共大约多少千克？

池塘里每一条鱼被捞出来的机会是相同的，做了记号的鱼占鱼群的比例，与捞出的做了记号的鱼和捞出鱼数的比值应当一致，由此可估计池塘中鱼的条数，从而得出鱼的总重量.

总之，频率是试验数据，是变化的，而概率是理论数据，是确定的. 频率在一定程度上反映了随机事件发生的可能性的大小，当试验次数大量且重复时，其值在某一个常数附近摆动，这个常数作为概率的估计值. 利用频率估计概率对解决实际问题有很大作用.

（作者单位：江苏省常州市兰陵中学）endprint