论概率统计课程中经典教学案例的选用准则

孙彩云

(华北科技学院基础部，北京东燕郊 101601)

0 引言

概率论与数理统计课程是研究随机现象统计规律性的数学分支，其理论方法独特，抽象，建立在公理化结构之上，理论严密，体系完整，同时，它的实践性又很强，很多重要的统计思想，方法都是来自于实践，又运用于实践［1－2］。从概率论与数理统计课程所具有的这种特点来看，如果教师在该课程的教学中仍沿用类似其它数学课程的教学方法，侧重理论的推理证明，重视计算技巧的演练，解题方法的训练，轻视甚至忽视思想方法、理解能力及应用能力的训练和培养，就会导致学生抓不住概率统计的精髓所在，不能利用该知识解决实际问题，学以致用［3］。然而，学习的目的是为了运用。为了达到这个目标教师可以在概率论与数理统计课程的教学过程中，适当延伸课本内容，选取社会、经济、生活等经典案例，结合所学的理论对案例问题进行深入的分析，指出其存在的问题、根源，并策划出解决问题的方案。

经典案例的选取关系到是否能够使学生在分析案例的过程中掌握概率论与数理统计基础知识，学会运用这些知识解决实际问题［4］。那么，教师应该选取怎样的经典案例，才能活跃课堂气氛，激发学生学习热情，培养学生发现问题和应用概率统计知识解决实际问题的能力。从而达到学习目的，使案例发挥事半功倍的作用呢?笔者结合教学经验，提出选取经典案例几个准则如下:

1 经典教学案例的选用准则

1.1 代表性

生活中会呈现出多样的现象，有些现象虽然表现形式不一样，但是反映的问题却本质相同。比如大家熟知的有生日问题:假设有n个人组成的人群，在不考虑特殊因素的前提下，例如闰年、双胞胎等，并假设一年365日出生概率是平均分布的，计算所有人生日都不相同的概率。实际这个问题等同于装球入箱问题:将n个不同编号的球随机放入N(N≥n)个箱子中，每个球以相同的概率被放入箱中，每箱容纳的球数不限，求n个盒中恰有一个球的概率。类似这样的同类案例需要教师精心选取具有代表性的，并且给学生归类总结，举一反三，会收到很好的教学效果。

1.2 趣味性

兴趣是学习的最大动力。概率论与数理统计来源于生活，从中很容易找到引人入胜的典故和身边一些有趣的例子。可以开发际问题作为教学素材来激发学生学习的兴趣。比如在讲授数学期望内容时，可以引入如何分配赌金的例子:假设两个赌博者(德·梅勒和他的一个侍卫官朋友)每人出30个金币，两人各自选取一个点数进行掷骰子，谁选择的点数首先被掷出三次，谁就赢得全部的赌注，在游戏进行了一会儿后，德·梅勒选择的点数“5”出现了两次而他朋友选择的点数“3”只出现了一次，这时候，德·梅勒由于一件紧急事情必须离开，游戏不得不停止。他们该如何分配赌桌上的60个金币的赌注呢?德·梅勒说:“我只要再掷出1次5点，就可以赢得全部金币，而你要掷2次3点，才能赢得60枚金币，所以我应该得到全部金币的3/4，也就是45枚金币。”侍卫官却说:“假如继续赌下去，我要两次好机会才能取胜，而你只一次就够了，是2∶1，所以你只能取走全部金币的2/3，即40枚金币”。两人互相坚持自己的意见，赌金无法分配。让学生说明哪中分配正确。这是一个有趣的例子，学生期待找到答案，学习的动力会更足。

1.3 知识性

在遇到一些概率统计问题时，可利用学过的数学知识进行分析解答。反过来，如何利用概率统计知识考虑其它数学学科的数学问题，好像是一件新鲜事。因此教师应该把概率思想渗入到教学过程中，利用概率论的思想方法，建立适当的概率模型去解决一些表面上看来不属于概率统计范畴内的问题，如利用概率统计模型可以证明组合恒等式、不等式，求解级数、积分、极限等数学问题，增加概率论与数理统计的知识性。比如:证明，虽然是一个组合等式，却可以用概率模型来求解。证明过程:考虑一个随机试验:设一个袋中装有n个球，其中有且只有一个红球，先从袋中取出r个球来，则有种取法，可以将这种取法分为2类:(1)包含红球的.取定了那个红球之外还需在余下的n－1个球中取r－1个，共有种取法;(2)不包含红球的.应在除去红球后的n－1个球中取出r个球.因此，共有种取法.所以，等式成立。该例子的引入可以使学生树立起概率统计意识，学会运用概率统计的思想方法分析处理以前所学数学问题，从而培养学生的逻辑思维与直观思维能力，进一步提高分析判断与解决问题的能力.

1.4 实用性

在案例的选取中要注意增加与经济生活贴近的例子，如:库存与收益问题、有关彩票中奖率问题、隐私问题的调查等，对这些案例进行讲解，如能结合统计软件分析处理。相信不仅能提高学生的学习积极性，也能使学生明白概率论与数理统计是建立在现实生活的基础上运用性很强的学科，使学生更加重视对该门课的学习。

引入案例后，可以引导学生对每一个案例进行分析，分析过程为:(1)要解决什么问题?(2)有些什么方法，而这些方法的基本思想是什么?合理性?(3)运用这些方法解决问题的基本步骤是什么?(4)如何将这些方法运用于实际问题中?这样能使学生理清思路，从整体上把握统计的基本思想。

笔者在讲授全概率公式时引入以下案例:

某经理需要招聘1个秘书，现n个人同时应聘。经理随机与应聘者逐个面试，把应聘者与已面试的人比较而决定是否录用。但是，应聘者要求经理当场答复，因为他(她)好决定是否到另一处谋职业。如果经理要把n个人都面试完全，那就只能录用最后一名。于是他录用到最好的那一位的概率仅有1/n。经理采取什么策略，才能从n个中选到最好的或较好的秘书呢?

对此问题，可考虑如下策略:

假设对n个应聘人，先放弃部分应聘人，不录取前k(k=1、2、…、n－1)个人，若后面有比前 k个应聘人更理想的人选，立即签约，否则，继续等待。在此策略下，寻找k，使选到理想秘书签约的概率最大，称k为最优策略。

设Ak表示在此策略下和最理想秘书;

由全概率公式可得:

对不同的n，由上式计算得Pk如表1:

表1

由表1可以看出，对于不同的n，可得最优策略如表2。

表2

从表2可以看出，随着n的增加，最优的k值也相应增加，但相应的概率随之减小.对于更大的n，有下面的近似公式:

表3

圆圈标出了中选者，*号指出选中最优者的情形。明显看出，选到最优者概率是11/24，比随意挑选的成功率(1/4)高得多。而选中第一名或第二名的概率则高达18/24=0.75。

此案例亦可在别的场合使用，如金融市场，有许多投资机会，为抓住最佳投资机会，可考虑以上策略。

2 结语

结合几年来概率统计课程的教学经验，在教学实践中引入适当案例并进行分析，用具体生动的实例把抽象的概念形象化，使得概率论与数理统计的教学取得了如下显著的效果:

1)以上经典案例在教学中的引用与分析使学生真正体会到该课程的内容在工、农业生产以及日常生活中的应用价值，激发了学生的创造性思维，充分调动了学生学习的主动性，同时也增加了学生动手能力和应用概率统计方法解决实际问题的能力。

2)取得了良好的教学效果，提高了教学质量，得到了学生的认可和赞同。在对所教授的13级测绘1、2、3班学生的问卷调查中，85%以上的学生对选用的经典案例给予大力肯定;另外，该班学生的概率统计课程考试的平均成绩及及格率都明显好于其它班的学生，其中经典案例选择对教学效果具有促进作用，使得大多数学生对该门课程的思想方法和应用性有了较深刻的认识。

总之，教学经典案例的选取在课程教学中具有一定的教学意义，能够取得意想不到教学效果，具有一定的教学借鉴意义。

［1］ 邓华玲，等.概率论与数理统计课程的改革与实践［J］.大学数学，2004，(1):34 －37.

［2］ 施庆生，等.概率论与数理统计课程的教学改革与实践［J］.南京工业大学学报(社会科学版)，2004，(3):94 －96.

［3］ 李晓康.案例式教学法在概率论与数理统计课程中的应用［J］.价值工程，2011，(2):204－205.

［4］ 陈海杰，等.应用案例分析提高概率论与数理统计教学效果［J］.东北农业大学学报 (社会科学版)，2012，(2):98－100.