直线和抛物线的平移对称

仇礼云

摘 要：初中数学的直线和抛物线的平移、对称解析式求法是学生的一个难点。

关键词：直线；抛物线；平移；对称

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）06-334-01

初中数学的直线和抛物线的平移、对称解析式求法是学生的一个难点。很多学生对于此类问题无从下手。如果在教学中掌握了平移和对称的关键点，学生是会很容易学会求解这类问题的。在此就自己的教学心得和大家交流一下。

一、先来看平移

这里我们先来看直线的上下移动的情形。如：要求直线Y=3x向上平移5个单位的解析式。求平移解析式可以选出一个特殊点，求出这个点平移后的新坐标，平行的直线具备K值相等的特点，这样可以重新设出一次函数解析式带入平移后点的坐标求得解析式。但这样的求法比较复杂，对于大多数学生有很大难度。我们不妨从本质上来看函数的移动问题：上下移动其实就是函数值的变化，即Y变化。数学教科书上有b值不为零的一次函数图象是由K值与它相同的正比例函数图象平移而得到的例子。这个可以通过画图的过程在列表环节让学生理解同一个点是怎么移动的。所以我们要求直线Y=3x向上平移5个单位的解析式。很容易知道就是Y=3x+5.请思考把直线Y=3x-2向上平移5个单位的解析式又为什么呢？一样的其实就是Y的变化。我们容易求出把直线Y=3x-2向上平移5个单位的解析式为Y=3x-2+5，即Y=3x+3。向下移动的情形又怎么样呢？比如把直线Y=3x-2向下平移5个单位的解析式又为什么呢？一样的其实就是Y的变化。我们容易求出把直线Y=3x-2向下平移5个单位的解析式为Y=3x-2-5，即Y=3x-7。

我们再来看抛物线的上下平移问题。例如：抛物线Y=3x +2x+1向下平移3个单位的解析式。一般来讲，我们是根据抛物线顶点的坐标变化用顶点式来求。其实，要求相应的对于抛物线的上下平移也同样就是函数值Y的变化。例如把抛物线Y=3x +2x+1向下平移3个单位的解析式为Y=3x +2x+1-3，即Y=3x +2x-2。抛物线Y=3x +2x+1向上平移3个单位的解析式为Y=3x +2x+1+3，即Y=3x +2x+4。

总结起来就是这样一句话：对于直线和抛物线的上下平移就是函数值Y的变化，遵循上加下减的原则。这一点学生很容易理解和接受。

再看直线和抛物线的左右平移应该怎么样进行呢？这是我们教学中的一个很难的点。没有好的办法学生很难求出平移后函数的解析式。先看直线左右移动的情形：求把直线Y=3x-2向左平移5个单位的解析式。一般的解法就是平移图形中K值相同，再确定一个原函数中比较特殊的一个点，把它平移后的坐标带入解析式来求。这种做法学生能很好理解，但实际操作中很难掌握。学生无法很好的找到合适的点，平移后的坐标也不好确定，还要再带入求解，大多数学生无法完成。实际上，我们仔细想想，左右平移其实就是横坐标的变化，也就是变量中X的变化，函数图像往左移动就是平移前后两个函数值相等时对应的自变量X会变小。我们在保证函数值Y不变的情况下，左平移函数图像后的自变量X变小，当这时的自变量X加上平移的数量时该点就和原解析式的点的函数值对应相等。具体来看就是直线Y=3x-2向左平移5个单位的解析式应该为Y=3（x+5）-2，即Y=3x+13.这种方法能很好的解决直线左右平移的问题。对应填空选择题非常有效。学生也非常易于掌握。再求把直线Y=3x-2向左平移5个单位的解析式。函数图像往右移动就是平移前后两个函数值相等时对应的自变量X会变大。我们在保证函数值Y不变的情况下，右平移函数图像后的自变量X变大，当这时的自变量X减去平移的数量时该点就和原解析式的点的函数值对应相等，即此时两点重合。具体来看就是直线Y=3x-2向右平移5个单位的解析式应该为Y=3（x-5）-2，即Y=3x-17。

这种求法对应抛物线左右平移更加简单和有效。例如把抛物线Y=3x +2x+1向右平移3个单位的解析式求法，一是可以用常规方法求出抛物线顶点的变化再用顶点式求出解析式。这个理解起来很简单但操作起来很复杂。实际上我们可以仿照直线的平移直接求出抛物线解析式为Y=3（x-3） +2（x-3）-2。

左右平移就是x的变化，遵循左加右减的原则。这一结果也可以通过平移顶点的方法加以验证。对于直线或者抛物线既上或下移又左或右移的抛物线解析式求法我们可以把前面的移动方式同时进行。例如把抛物线Y=3x +2x+1向下平移5个单位再向右平移3个单位的解析式为Y=3（x-3） +2（x-3）-2-5.这个结果的正确性也能用常规的顶点平移法来验证。

二、现在来看看对称的问题

直线抛物线关于坐标轴对称的问题比较简单。先来看直线的对称。我们知道，点关于Y轴对称时就是横坐标即x变为相反数，因此直线关于Y轴对称其实就是把其中的x变为相反数就可以了。如直线Y=3x-2关于Y轴对称的解析式为Y=3（-x）-2，即Y=-3x-2。类似地，点关于x轴对称时就是纵坐标即Y变为相反数。所以直线Y=3x-2关于X轴对称的解析式为-Y=3x-2，即Y=-3x+2（就是Y变为原来的相反数）。抛物线关于坐标轴对称的解析式求法和直线类似。例如求抛物线Y=3x +2x+1关于Y轴对称的解析式就是横坐标即x变为相反数，因此抛物线Y=3x +2x+1关于Y轴对称的解析式就是Y=3（-x） +2（-x）+1。另外，要求抛物线Y=3x +2x+1关于x轴对称的解析式为就是把Y变为相反数就可以了。所以它的关于x轴对称的解析式就是-Y=3x +2x+1，即Y=-3x -2x-1。以上结果都可以用常规方法加以验证。

参考文献：

[1] 郭友.教师教学技能[M].上海：华东师范大学出版社，1993.

[2] 徐斌艳.数学教育展望[M].上海：华东师范大学出版社，2001.