数学美的分类及其特征研究

李凤芝

数学是数量关系与空间形式的科学，不但有智育的功能，也有其美育的功能.数学美深深地感染着人们的心灵，激起人们对她的欣赏.本文分析数学美的类型和主要特征.

一、简洁美

爱因斯坦说过：“美，本质上终究是简单性.”欧拉给出的公式：V-E+F=2，堪称“简单美”的典范.世间的多面体有多少？没有人能说清楚.但它们的顶点数V、棱数E、面数F，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？由她还可派生出许多同样美妙的东西.如：平面图的点数V、边数E、区域数F满足V-E+F=2，这个公式成了近代数学两个重要分支——拓扑学与图论的基本公式.由这个公式可以得到许多深刻的结论，对拓扑学与图论的发展起了很大的作用.在数学中，像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多.

二、和谐美

数论大师赛尔伯格曾经说，他喜欢数学的一个动机是以下的公式：π4=1-13+15-…，这个公式实在美极了，奇数1、3、5、…这样的组合可以给出π，对于一个数学家来说，此公式正如一幅美丽图画或风景.欧拉公式：eiπ=-1，曾获得“最美的数学定理”称号.欧拉建立了在他那个时代，数学中最重要的几个常数之间的绝妙的有趣的联系，包容得如此协调、有序.与欧拉公式有关的棣美弗—欧拉公式是cosθ+isinθ=eiθ （1）.这个公式把人们以为没有什么共同性的两大类函数——三角函数与指数函数紧密地结合起来了.对它们的结合，人们始则惊诧，继而赞叹——确是“天作之合”.

三、奇异、突变美

全世界有很大影响的两份杂志曾联合邀请全世界的数学家们评选“近50年的最佳数学问题”，其中有一道相当简单的问题：有哪些分数abbc，不合理地把b约去得到ac，结果却是对的？经过一种简单计算，可以找到四个分数：1664，2665，1995，4998.这个问题涉及“运算谬误，结果正确”的歪打正着，在给人惊喜之余，不也展现一种奇异美吗？人造卫星、行星、彗星等由于运动的速度的不同，它们的轨道可能是椭圆、双曲线或抛物线，到定点距离与它到定直线的距离之比是常数e的点的轨迹，常数e由0.999变为1、变为0.001，相差很小，形成的却是形状、性质完全不同的曲线.而这几种曲线又完全可看作不同的平面截圆锥面所得到的截线.

四、对称美

在古代“对称”一词的含义是“和谐”、“美观”.事实上，译自希腊语的这个词，原义是“在一些物品的布置时出现的般配与和谐”.毕达哥拉斯学派认为，一切空间图形中，最美的是球形；一切平面图形中，最美的是圆形.圆是中心对称圆形——圆心是它的对称中心，圆也是轴对称图形——任何一条直径都是它的对称轴.梯形的面积公式：S=（a+b）h2，等差数列的前n项和公式：Sn=（a1+an）n2，其中a是上底边长，b是下底边长，其中a1是首项，an是第n项，这两个等式中，a与a1是对称的，b与an是对称的，h与n是对称的.

五、创新美

欧几里得几何曾经是完美的经典几何学，其中的公理5：“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”和结论“三角形内角和等于二直角”，这些似乎是天经地义的绝对真理.但罗马切夫斯基却采用了不同于公理5的结论：“过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行”，在这种几何里，“三角形内角和小于二直角”，从而创造了罗氏几何.黎曼几何学没有平行线.这些与传统观念相违背的理论，并不是虚无缥缈的，当我们进行遥远的天文测量时，用罗氏几何学是很方便的，原子物理、狭义相对论中也有应用；而爱因斯坦建立的广义相对论中，较多地利用了黎曼几何这个工具，才克服了所遇到的数学计算上的困难.每一个理论都在需要不断创新，每一个奇思妙想、每一个似乎不合理又不可思议的念头都可能开辟新的天地.这种开阔了我们的视野、开阔了我们的心胸、给我们完全不同感受的难道不是切入肌肤的美吗？如果我们再大胆设想一下，是不是还存在一个能包容欧氏几何和非欧几何的更广泛的几何学呢？事实上，通过高斯曲率可以将三种几何统一在曲面的内在几何学中，还可以通过克莱因几何学与变换群的观点将三种几何统一起来.在不断创新的过程中，数学得到了发展.

六、统一美

数学的发展是逐步统一的过程.数的概念从自然数、分数、负数、无理数，扩大到复数，经历了无数次坎坷，范围不断扩大了，在数学及其他学科的作用也不断地增大.那么，人们自然想到能否再把复数的概念继续推广.统一的目的也正如希尔伯特所说的：“追求更有力的工具和更简单的方法.”爱因斯坦一生的梦想就是追求宇宙统一的理论.他用简洁的表达式E=mc2揭示了自然界中质能关系，这不能不说是一件统一的艺术品.但他还是没有完成统一的梦想.人类在不断探寻着纷繁复杂的世界，又在不断地用统一的观点认识世界，宇宙没有尽头，统一美也需要永远的追求.

数学之美，还可以从更多的角度去审视，而每一侧面的美都不是孤立的，她们是相辅相成、密不可分的.她需要人们用心、用智慧深层次地去挖掘，更好地体会她的美学价值和她丰富、深邃的内涵和思想及其对人类思维的深刻影响.如果在学习过程中，我们能与数学家们一起探索、发现，从中获得成功的喜悦和美的享受，那么我们就会不断深入其中，欣赏和创造美.