卡普列加数与实验公式

【摘要】本文用可构造出卡普列加数的三角形表，构造出求以单分子分数的循环数为底数的卡普列加数的实验公式，进而构造出求以单分子分数的循环数为底数的乘方运算的实验公式，最后导出求循环数乘方运算的实验公式，从而说明了把循环数的m次方的幂分成相等的m部分，每一部分都可以单独求出来，举例说明了实验公式的应用.

【关键词】循环和；m阶卡普列加数；实验公式

你也许不会相信有这样的事实：把循环数的m次方的幂分成相等的m部分，每一部分都可以单独求出来.为研究乘方运算这种奇妙的特征，我们先从乘方运算中的特例——卡普列加数说起.下面，特给卡普列加数作出如下定义：

定义 取一个k（k为正整数）重循环数N，将其m次方Nm切为相等的m部分（每一部分之间用逗号隔开），求其和N′，并称N′为循环和.若N′=N，则N称为以循环数为底数的m阶卡普列加数（简称为m阶卡普列加数），Nm的幂称为卡普列加m次方数，并称Nm的运算表达式为卡普列加数表达式.例如：

[（09）5]2=0082644628，0826446281（1），其循环和N′=0082644628+0826446281=（09）5=N，等式（1）是二阶卡普列加数表达式；[（09）5]3=0007513148，0067618332，0833959429（2），

其循环和经过计算为N′=（09）5=N，等式（2）是三阶卡普列加数表达式；……这里要注意的是（09）5（09是1/11的2位循环数）与循环数909090909（这个数是101010101/（1）9的9位循环数）是不一样的，所以等式（1）、（2）的右边前面的零不能省略.等式（1）、（2）也可分别记为{[（1/11）λ=2]5}2=[（1/112）i=10]，[（10/112）i=10+1] （1）′，其中105λ≡12（mod112），循环和为N′=[（1/112+10/112）λ=2]5=[（1/11）λ=2]5=N，其中符号（1/11）λ=2表示1/11的2位循环数（其中λ表示循环节长度） （以下同），符号（1/112）i=10表示1/112的循环数的前10位数，符号（10/112）i=10表示10/112的循环数的前10位数（以下同）；{[（1/11）λ=2]5}3=[（1/113）i=10]，[（9/113）i=10]，[（111/113）i=10]（2）′，其中105λ≡12（mod113），循环和为N′=[（1/113+9/113+111/113）λ=2]5=[（1/11）λ=2]5=N.

不妨，把等式（1）、（2）称为卡普列加数的一般表达式（以下同），把等式（1）′、（2）′称为卡普列加数的循环数表达式（以下同）.等式（1）′、（2）′可由下面的实验公式（本文指用此公式计算出来的结果经检验是正确的，但公式本身却未经证明成立的公式，以下同）分别求出.

以1/（x-1）（本文中分母x-1均为不含2及5的素因数） 的循环数为底数的二阶卡普列加数表达式的实验公式：{[（1/（x-1））λ]n}2=[（1/（x-1）2）i=nλ]，[（（x-2）/（x-1）2）i=nλ+1] （公式1），其中10nλ≡x[mod（x-1）2]，循环和为[（1/（x-1））λ]n；三阶卡普列加数表达式的实验公式：{[（1/（x-1））λ]n}3=[（1/（x-1）3）i=nλ]，[（（x-3）/（x-1）3）i=nλ]， [（（x2-3x+3）/（x-1）3）i=nλ]（公式2），其中10nλ≡x[mod（x-1）3]，循环和为[（1/（x-1））λ]n.那么，是否有以1/（x-1）的循环数为底数的四阶、五阶……卡普列加数表达式的实验公式呢？从下面的可构造出卡普列加数的三角形表，可以看出不但存在而且可以得到x阶以1/（x-1）的循环数为底数的卡普列加数表达式的实验公式.

可构造出卡普列加数的三角形表：

说明：（1）此表只能构造到第（x+1）行，因为此表中的数（每个多项式都代表一个数）都必须是非负数.（2）此表与杨辉三角形有类似之处，杨辉三角形中间的数等于与上一行相邻两个数的和，而此表中间的数，则等于与上一行相邻两个数的差（后数减前数），每一行第一个数都是1，从第二行开始，每一行最后一个数分别是x-1、（x-1）2、……的值，并且从第三行开始，以最后一个数作为前面各数的分母求和，其和都等于1/（x-1）.如，由第三行可得等式一：1/（x-1）2+（x-2）/（x-1）2=1/（x-1），由第四行可得等式二：1/（x-1）3+（x-3）/（x-1）3+（x2-3x+3）/（x-1）3=1/（x-1），…….（3）利用此表可构造出m阶卡普列加数[（1/（x-1））λ]n的循环数表达式即实验公式，其中λ为1/（x-1）的循环节长度，x均满足10nλ≡x[mod（x-1）m].实验公式1、2中的分数分别是等式一、二中的分数，即实验公式1、2可以由此表构造出来.

同理，由第五行、第六行……分别可得下面的四阶、五阶……卡普列加数表达式（实验公式）：

{[（1/（x-1））λ]n}4=[（1/（x-1）4）i=nλ]，[（（x-4）/（x-1）4）i=nλ]，[（（x2-4x+6）/（x-1）4）i=nλ]，[（（x3-4x2+6x-4）/（x-1）4）i=nλ+1]（公式3）（偶次方运算表达式的最后一个数都必须加上定值1），其中10nλ≡x[mod （x-1）4]，循环和为[（1/（x-1））λ]n；{[（1/（x-1））λ]n}5=[（1/（x-1）5）i=nλ]，[（（x-5）/（x-1）5）i=nλ]，[（（x2-5x+10）/（x-1）5）i=nλ]，[（（x3-5x2+10x-10）/（x-1）5）i=nλ]，[（（x4-5x3+10x2-10x+5）/（x-1）5）i=nλ]（公式4），其中10nλ≡x[mod（x-1）5]，循环和为[（1/（x-1））λ]n……

当x=12时，1/（x-1）的循环节长度为λ=2，且10973λ≡12（mod114），1114283λ≡12（mod115），所以分别由公式3、公式4可得：{[（1/11）λ=2]973}4=[（1/114）i=1946]，[（8/114）i=1946]，[（102/114）i=1946]，[（1220/114）i=1946+1]；{[（1/11）λ=2]14283}5=[（1/115）i=28566]，[（7/115）i=28566]，[（94/115）i=28566]，[（1118/115）i=28566]，[（13421/115）i=28566].

由于卡普列加数是乘方运算中的特例，实验公式1～4的实用性是有限的，所以要把实验公式1～4加以推广.如把公式3分母和模中的x-1用a（本文中分母a均为不含2及5的素因数）替代，可得到求以1/a的循环数为底数的4次方运算的实验公式：

当10nλ≡x（moda4）时，{[（1/a）λ]n}4=[（1/a4）i=nλ]，[（（x-4）/a4）i=nλ]，[（（x2-4x+6）/a4）i=nλ]，[（（x3-4x2+6x-4）/a4）i=nλ+1]（公式5），用公式5时要注意：（1）如果等式右边分数中所有分子的值均小于a4时，可直接用公式5计算；（2） 如果等式右边有的分数中分子的值大于a4时，分子的值对模a4求简化同余数，并且把该分子的值换成简化同余数；（3）当x=1时，由公式5可得：{[（1/a）λ]n}4=[（1/a4）i=nλ]，[（（a4-3）/a4）i=nλ]，[（3/a4）i=nλ]，[（（a4-1）/a4）i=nλ+1]（公式6），其循环和为“2”，也可写成[（2a/a）λ]n，即循环和为2×[a×（1/a）λ]n.

例1 计算：[（1/37）λ=3]44.

解 由10nλ=104×3≡166908，得x=166908，所以x-4≡166904，x2-4x+6≡83734，x3-4x2+6x-4≡255891（mod374），所以由公式5得：[（1/37）λ=3]44=[（1/374）i=12]，[（166904/374）i=12]，[（83734/374）i=12]，[（255891/374）i=12+1] （3）.由等式（3）容易转化为一般表达式：[（027）4]4=000000533572，089055315952，044678125305，136536295441，这个等式经检验是正确的.

可见，由公式5、公式6，我们可以快速求出单分子分数的循环数4次方的值.那么如何快速求出{[（b/a）λ]n}4（本文中b/a均为既约真分数）的值呢？因为（b/a）4=b4×（1/a）4，所以把公式5中右边的分子都乘以b4，由模a4求它们的简化同余数，即由b4×1≡b4，b4（x-4）=xb4-4b4≡y1，b4（x2-4x+6）=x×b4（x-4）+6b4≡xy1+6b4≡y2，b4（x3-4x2+6x-4）=x×b4（x2-4x+6）-4b4≡xy2-4b4≡y3（moda4）.整理以上同余式，由公式5并加上修正值，可得实验公式：

当10nλ≡x，xb4-4b4≡y1，xy1+6b4≡y2，xy2-4b4≡y3（moda4）时，{[（b/a）λ]n}4=[（b4/a4）i=nλ+d1]，[（y1/a4）i=nλ+d2]，[（y2/a4）i=nλ+d3]，[（y3/a4）i=nλ+1]（公式7），其中1为定值，修正值d1 、d2、d3为常数.如果-4b4≡h1，6b4≡h2（moda4），并且h1=-4b4+e1a4，h2=6b4-e2a4（e1、e2为自然数），那么，当y1≥h1时，d1=-e1，y1

由公式7得到的循环数表达式，其循环和为[（（b4+y1+y2+y3）/a4）λ]n，当x≠1时，循环和中的分数化简后的分母是a的约数，否则就有可能是y1或y2或y3或x的值是不正确的，并且规定循环和[（（ta′+b′）/a′）λ]n=t×[a′×（1/a′）λ]n+[（b′/a′）λ]n（t=1，2，3）.如循环和[（20/7）λ=6]167表示2×[7×（1/7）λ=6]167+[（6/7）λ=6]167，即循环和为2×（999999）167+（857142）167.可见，由公式7不但可以求出4次方运算的表达式，还可以求出其循环和.

例2 计算： {[（26/33）λ=2]5}4.

解 题目中的a=33，b=26.对模a4来说，由10nλ=105×2≡314128，得x=314128；由xb4-4b4=314128×264-4×264≡879342，得y1=879342；由xy1+6b4=314128×879342+6×264≡408549，得y2=408549；由xy2-4b4=314128×408549-4×264≡411353，得y3=411353.容易求出d1=-2，d2=2，d3=-1.所以，{[（26/33）λ=2]5}4=[（264/334）i=10-2]，[（879342/334）i=10+2]，[（408549/334）i=10-1]，[（411353/334）i=10+1] （4），其循环和为：[（（264+879342+408549+411353）/334）λ=2]5=[（20/11）λ=2]5=[11×（1/11）λ=2]5+[（9/11）λ=2]5，即循环和为（99）5+（81）5.由等式（4）容易转化为一般表达式：[（78）5]4=3853342674，7414844667，3444993383，3468637456，这个等式经检验是正确的，其循环和为（99）5+（81）5，即循环和为[（20/11）λ=2]5.

仿照从公式3到公式5到公式7，构造出求循环数4次方运算的实验公式的方法，从公式1、公式2出发，容易分别构造出求循环数平方运算、立方运算的实验公式.求循环数平方运算的实验公式，在“速求卡普列加数”一文中介绍过；求循环数立方运算的实验公式，在“立方运算与卡普列加数”一文中介绍过.当然，从公式4出发，也可以构造出求循环数5次方运算的实验公式.那么，有其他方法能直接构造出求循环数5次方或m次方运算的实验公式吗？有！可根据（x-1）m展开式按x降幂排列中间项的系数：-m、m（m-1）/2、-m（m-1）（m-2）/6、…、（-1）m-2m（m-1）/2、（-1）m-1m，直接根据公式7的特征，可快速构造出求循环数m次方运算的实验公式：

当10nλ≡x，xbm-mbm≡y1，xy1+[m（m-1）/2]bm≡y2，xy2-[m（m-1）（m-2）/6]bm≡y3，…，xym-3+[（-1）m-2m（m-1）/2]bm≡ym-2，xym-2+（-1）m-1mbm≡ym-1（modam）时，{[（b/a）λ]n}m=[（bm/am）i=nλ+d1]，[（y1/am）i=nλ+d2]，[（y2/am）i=nλ+d3]，…，[（ym-2/am）i=nλ+dm-1]，[（ym-1/am）i=nλ+dm]（当m为奇数时，dm=0；当m为偶数时，dm=1）（公式8），或{[（b/a）λ]n}m=[（bm/am）i=nλ+d1]×10（m-1）nλ+[（y1/am）i=nλ+d2]×10（m-2）nλ+…+[（ym-1/am）i=nλ+dm]（当m为奇数时，dm=0；当m为偶数时，dm=1）（公式8′），其中修正值d1 、d2、…、dm-1为常数.如果-mbm≡h1，[m（m-1）/2]bm≡h2，…，（-1）m-1mbm≡hm-1 （modam），并且h1=-mbm+e1am，h2=[m（m-1）/2]bm-e2am，…，hm-1=（-1）m-1mbm+（-1）mem-1am（e1、e2、…、em-1为自然数），那么，当y1≥h1时，d1=-e1，y1

当公式8右边的每一部分都不发生“进位”时，可用公式8直接计算循环数的m次方.由公式8得到的循环数表达式，其循环和为[（（bm+y1+y2+…+ym-1）/am）λ]n，当x≠1时，循环和中的分数化简后的分母是a的约数，还可以推导出ym-1满足xym-1+（-1）mbm≡0（modam），并且规定循环和[（（ta′+b′）/a′）λ]n=t×[a′×（1/a′）λ]n+[（b′/a′）λ]n（t=1，2，…，m-1）.如循环和[（25/7）λ=6]450表示3×[7×（1/7）λ=6]450+[（4/7）λ=6]450，即循环和为3×（999999）450+（571428）450.可见，由公式8不但可以求出m次方运算的表达式，还可以求出其循环和.当公式8右边的个别部分发生“进位”时，可用公式8′直接计算循环数的m次方.此时，由于“进位”的原因，会出现循环周期变化规律变化前后的循环和中的循环数底数不相同的情况（变化前的循环和可用一般表达式计算，变化后的循环和则可用循环数表达式计算）.如{[（10/11）λ=2]1}2=[（100/112）i=2-2]×102+[（120/112）i=2 +1][其中（120/112）i=2=99表示两位数，而（120/112）i=2+1=99+1却表示三位数，说明第二部分发生了“进位”]，即902=（82-2）×102+（99+1）=8100，其变化前的循环和为81即（9/11）λ=2；由于一个循环周期为11，所以{[（10/11）λ=2]11+1}2=[（100/112）i=2×12-2]×1024+[（120/112）i=2×12 +1]=[（100/112）i=24-2]，[（120/112）i=24+1] （5），其变化后的循环和为[（（100+120）/112）λ=2]12=[（20/11）λ=2]12=[11×（1/11）λ=2]12+[（9/11）λ=2]12，即循环和为（99）12+（81）12.由等式（5）可化为一般表达式：[（90）12]2=826446 280991 735537 190080，991735 537190 082644 628100，这个等式经检验是正确的.

例3 计算：{[（2/7）λ=6]4}5.

解 题目中的a=7，b=2.对模a5来说，由10nλ=104×6≡16346，得x=16346；由xb5-5b5=16346×25-5×25≡1895，得y1=1895；由xy1+10b5=16346×1895+10×25≡689，得y2=689；由xy2-10b5=16346×689-10×25≡1384，得y3=1384；由xy3+5b5=16346×1384+5×25≡802，得y4=802.容易求出d1=d2=d3=d4=0.所以，{[（2/7）λ=6]4}5=[（25/75）i=24]，[（1895/75）i=24]，[（689/75）i=24]，[（1384/75）i=24]，[（802/75）i=24] （6），其循环和为N′=[（（25+1895+689+1384+802）/75）λ=6]4=[（2/7）λ=6]4=N.可见，等式（6）是5阶卡普列加数的循环数表达式，它转化为一般表达式后，经检验是正确的.

把公式8中的a用x-1替代、b用1替代，此时容易求出d1=d2=…=dm-1=0.这样，由公式8可得到求以1/（x-1）的循环数为底数的m阶卡普列加数表达式的实验公式（公式略）.

我们已经知道，当1/a的循环数与a互质时，[（b/a）λ]n（n

【参考文献】

[1]谈祥柏.数：上帝的宠物[M].上海：上海教育出版社，1999.

[2]曾俊雄.速求卡普列加数[J].数学学习与研究，2013（13）.

[3]曾俊雄.立方运算与卡普列加数[J].数学学习与研究，2013（17）.