交错级数的实质是无穷项n到2n的调和级数

吴合法

【摘要】交错级数 1-12+13-14+15-16+…+（-1）（n-1）n=ln2= 1n+1+…+12n-1， 这一科学成果是依据调和级数的数频理论得出的，它揭示了交错级数与调和级数的一种联系.这一数频理论的原理是等式或等价，有别于经典的近似理论.它是数学发展的未来趋势.

【关键词】交错级数；调和级数；数频公式；无穷大；ln2； 欧拉系数

1.调和级数的数频公式

先来研究调和级数的直接数频公式，这是没有先例的，尽管之前有一些间接的，但都不是依据等式得来的，不足为凭.

n≥3，设S3=1+12+13，12·S3=12+14+16，（1）

12· S3=S3-12·S3=1+12+13-12+14+16=1+13-14+16=12+14+16.（2）

∵（1）=（2），可得交错级数数列，

∴1-12+13=214+16=12+13.

再设 S5=1+12+13+14+15，

12·S5=12+14+16+18+110=S5-12·S5， （3）

S5-12·S5=1+12+13+14+15-12+14+16+18+110=1+13+15-（16+18+110），（4）

∵（3）=（4），

∴1+13+15-16+18+110=12+14+16+18+110，

可得交错级数数列，1-12+13-14+15=216+18+110.

再设S7=1+12+13+14+15+16+17，

12·S7=12+14+16+18+110+112+114=S7-12·S7，

可得1-12+13-14+15-16+17=14+15+16+17 ；

同理可得交错级数数列 1-12+13-14+15-16+17-18+19=15+16+17+18+19；…

当n为奇数时，n→∞，

1-12+13-14+…+12n-1=1n+1+1n+2+…+12n-1 ；（5）

当n为偶数时， n→∞，

∑[（-1）（n-1）]·12n=∑[（-1）（n-1）]·12n-1 -12=1-12+13-14+…+12n-1-12n=1n+1+1n+2+…+12n-1-12n. （6）

以上（5）、（6）公式就是调和级数的数频公式.

这一数频公式首次突破了调和级数没有直接的完整的公式的表达的历史空白，突破了调和级数至今只有近似的理论向完整理论转变的局限，无疑，这奠定了数频理论的正确的发展基础.

如果在假设的条件下，认可欧拉的结论是正确的，即早在1665年，牛顿在他的《流数法》中推导出第一个幂级数：

ln（1+x）=1-x22+x33-…+[（-1）（n-1）·xnn ].

欧拉在1734年利用牛顿的成果，首先获得了：

1-12+13-14+…+（-1）（n-1）n=ln2，n→∞. （7）

比较 （5）、（6）、（7）这三个表达式，在n→∞时，可以认为它们是等价的，从而有1-12+13-14+…=ln2，

ln2=1n+1+1n+2+…+12n-1，或者ln2=1n+1+1n+2+…+12n-1-12n.

在n到2n的调和级数∑1n=1n+1+1n+2+…+12n-1或者∑1n=1n+1+1n+2+…+12n-1-12n=ln2是收敛的.<完毕>

公式（5）或（6）与（7）的关系表明，交错级数的确是无穷大n到2n的调和级数.

2.调和级数发散的条件

明白了在1 到n无穷大项的交错级数是n到2n的调和级数，它是收敛的，由此可以继续证明n2到n的调和级数也是收敛的；n2到n4，n4到n8……如此往复直到1，它们都是收敛于ln2，所以调和级数：1+12+13+14+ …+1n=1+12+ 14 +18+…nln2=nln2.（8） 其中n为无穷大. 事实上，根据欧拉的调和级数表达式1+12 +13+14+15+…+1n=ln（n+1）+r，r为欧拉系数，同样可以来证明，在n到2n的无穷大调和级数是收敛于ln2.

1n+1+1n+2+…+12n=1+12+13+…+12n -1+12+ +13+…+1n=ln（2n+1）+r2-ln（n+1）-r1=ln2n+1n+1+r2-r1=ln2-1n+1+0.

可依次证明n到n2，n2到n4，n4到n8……它们之间的调和级数都收敛于ln2.将它们依次相加起来，nln2=n2+n4+n8+n16+…ln2，可得（8）式.总之，调和级数的发散性是指1到1n充分小时而言的，在1n充分小到12n且1n→0之间的调和级数收敛于ln2，即交错级数的实质是n到2n的调和级数的收敛于ln2这一结论在理论上否定了调和级数在无穷大n时继续无限增加的可能.

3.调和级数的数频表达式2

确切地讲，调和级数至今还没有一个科学的表达式，即使欧拉的表达式也不例外.1+12+ 13+14+…+1n=ln（n+1）+r就完全不符合所有有限的n值，例如 1 ≠ln（1+1）+r，1+12≠ln（2+1）+r，1+12+13≠ln（3+1）+r，……

这在事实上，欧拉的表达式就完全脱离了实践基础而不能作为完全的科学理论.下面给出调和级数的数频表达式2， 完整地反应了这一级数的规律.

根据1=将此等式按指数相同的重新合并排列，有 （2）式：

【参考文献】

[1]同济大学数学系主编.高等数学.第六版.

[2]北京大学数学科学学院.数学分析.第二册.北京大学出版社.