高考数列解题策略研究

辜琛坤

【摘要】数列是高中数学的重要内容之一，是衔接初等数学与高等数学的桥梁，在高考中的地位举足轻重，新课标高考把数列作为核心内容来加以考查且考查试题不断创新.所以，了解高考中数列问题的命题规律，掌握高考中关于数列问题的热点题型的解法，针对性地开展数列知识的复习和训练，对于在高考中取得理想的成绩具有十分重要的意义.

【关键词】考试说明；基本题型；拓展综合

考试说明：重视基本方法和基本技能考查，熟练掌握等差、等比数列的通项公式、求和公式及其应用，掌握常见求通项、数列求和的技巧，重视数列与其他知识的交汇考查，突出对数学方法和数学能力的考查.

基本题型：

一、等差、等比数列基本运算

等差、等比数列是一个重要的数列类型，高考命题主要考查等差、等比数列的概念、基本量的运算及由概念推导出的一些重要性质，灵活运用这些性质解题，可达到避繁就简的目的.解决等差、等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法，即运用条件转化成关于a1和d的方程（组）；②巧妙运用等差、等比数列的性质.

例1 （2013年高考四川卷（文））在等比数列{an}中，a2-a1=2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和.

解 设{an}的公比为q.由已知可得

a1q-a1=2，4a1q=3a1+a1q2，

所以a1（q-1）=2，q2-4q+3=0，解得 q=3或q=1.

由于a1（q-1）=2，因此q=1不合题意，应舍去.

故公比q=3，首项a1=1.所以，数列的前n项和Sn=3n-12.

训练1 （2013年高考新课标1（理））设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm-1=-2，Sm=0，Sm+1=3，则m= （ ）.

A.3 B.4 C.5 D.6

答案 C

训练2 （2013年高考江西（理））等比数列x，3x+3，6x+6，…的第四项等于（ ）.

A.-24B.0C.12D.24

答案 A

点评 这几道题的解法直接利用了等差、等比的定义、通项或者求和公式即可完成解答，体现双基考查.

例2 （2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理））设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1.

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设数列{bn}前n项和为Tn，且Tn+an+12n=λ（λ为常数）.令cn=b2n（n∈N*）.求数列{cn}的前n项和Rn.

解 （Ⅰ）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.

由S4=4S2，a2n=2an+1得

4a1+6d=8a1+4d，

a1+（2n-1）=2a1+2（n-1）d+1，

解得a1=1，d=2.

因此an=2n-1（n∈N*）.

（Ⅱ）由题意知：Tn=λ-n2n-1.

所以n≥2时，bn=Tn-Tn-1=-n2n-1+n-12n-2.

故cn=b2n=2n-222n-1=（n-1）14n-1，（n∈N*）.

所以Rn=0×140+1×141+2×142+3×143+…+（n-1）×14n-1，

则14Rn=0×141+1×142+2×143+…+（n-2）×14n-1+（n-1）×14n，

两式相减得34Rn=141+142+143+…+14n-1-（n-1）×14n=14-14n1-14-（n-1）14n，

整理得Rn=194-3n+14n-1.

所以数列{cn}的前n项和Rn=194-3n+14n-1.

点评 此题主要考查等差求和公式和利用方程组解基本量，随后考查重要求和方法——错位相减法.

训练3 （2013年高考大纲卷（文））等差数列{an}中，a7=4，a19=2a9.

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn=1nan，求数列{bn}的前n项和Sn.

答案 {an}的通项公式为an=n+12，Sn=21-22+22-23+…+2n-2n+1=2nn+1.

训练4 （2013年高考湖南（文））设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an-a1=S1·Sn，n∈N*.

（Ⅰ）求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和.

答案 （Ⅰ）{an}是首项为a1=1，公比为q=2的等比数列，an=2n-1，n∈N*.

（Ⅱ）Tn=（n-1）·2n+1，n∈N*.

训练5 （2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷）设数列{an}：1，-2，-2，3，3，3，-4，-4，-4，-4，…，（-1）k-1k，…，（-1）k-1kk个，即当（k-1）k2

（1）求集合P11中元素的个数；（2）求集合P2000中元素的个数.

本题主要考查集合、数列的概念与运算、计数原理等基础知识，考查探究能力及运用数学归纳法分析解决问题的能力及推理论证能力.

答案 （1）集合P11中元素的个数为5 .（2）集合P2000中元素的个数为312+47=1008.

数列部分的考查形式在高考中有多种，选择题、填空题以及答题都可能会涉及，在各省市对数列的考查难易程度也是相差较大，许多省市更是放在前三道大题，所以建议复习数列部分时首先重视等差、等比数列基础题型和常见的求和、求通项方法，在这些基础熟练之后，对基础较好的考生再对数列的综合应用加以研究.