一个“错误”解答具有的教学价值

章志生

【摘要】正确解决排列组合问题关键是认清问题特征，选择合适方法.确定正确的分类标准并贯穿解题过程的始终，是处理“全能”问题的关键.

【关键词】排列组合；全能问题；方法

在排列组合问题的教学中，一题多解似乎是不少老师特别是年轻教师公认的禁忌，因为很多排列组合应用题换一种解法，往往很有道理却又答案不同，要在诸多方法当中辨出个李逵和李鬼真的很伤脑筋.所以不少老师在这一部分的教学中十分谨慎，不敢随意变题，甚至轻易否定学生的其他思路，怕自己被绕进去.而教者以为，善教者能于无疑处起疑，我们又怎能在有疑处回避呢？相反，即便是错误的思路，却也是训练学生思维能力的绝好机会，怎可随便放过！

教者在教学中就遇到了这样一个情况，在一次练习的讲评课上，一道常见的排列组合问题由不同的学生用不同的方法得出了不一样的答案，而且公说公有理婆说婆有理，到底谁是谁非呢？教者灵机一动，暂先不置可否，顺势开展了一次课堂探讨活动.

1.问题的导入

问题是这样的：某歌舞演出队共有10人，其中7人能唱歌，5人会跳舞，今从10人中选2人唱歌2人跳舞，问共有多少种不同的选派方案？

这是排列组合问题中的一种常见的易错题，通过简单分析学生容易得到其中既会唱歌又会跳舞的是7+5-10=2人，只会唱歌的是7-2=5人，只会跳舞的是5-2=3人.因其中有2人既会唱歌又会跳舞，属于“全能”型，所以平时教学中我们常把类似问题通俗地称为“全能”问题或“多面手”问题.教学中教者结合多数同学的意见引导学生抓住一个线索：唱歌选手的来源！分三类情形：

第一类，从只会唱歌的5人中选2人唱歌，此时还有5人会跳舞，从中任选2人跳舞，有C25·C25=100种方法；

第二类，从只会唱歌的5人和全能的人中各选选1人唱歌，从剩下的4个会跳舞的人中选2人，有C15·C12·C24=60种方法；

第三类，2名全能选手全被选出唱歌，剩下3名会跳舞者选2人，有C22·C13=3种.

故本题共有100+60+3=163种不同的方法.

因课前曾让同学们预习过，所以同学们对本题也有过比较深入的思考.大家理解了这种思路后，立刻对自己的原有思路进行反思，纷纷提出自己的见解，于是引发了如下的讨论.

2.“错误”的产生与争论

学生甲：因为7+5=12>10，这说明，10人中有2人既会唱歌也会跳舞，有5人只会唱歌，有3人只会跳舞.于是我分两类考虑：第一类，从只会唱歌的5人中选2人唱歌再从会跳舞的5人中选2人跳舞；第二类，从只会跳舞的3人中选2人跳舞再从会唱歌的7人中选2人唱歌.这样共有C25·C25+C23·C27=163种不同的选派方案.

巧了，正好与参考答案吻合，而且各类人都用到了.甲的方法对不对呢？教者启发大家共同思考.

于是学生乙很快站起来指出：甲同学的解决方案初一看似乎合理，但是细一想，漏洞是很明显的，两名全能选手中1人唱歌1人跳舞的情形没有考虑到，而两类方法中2名全能选手均未被选中的情形又重复计算了.

教者：那么重复计算的部分和遗漏的部分能否抵消呢？

大家快速计算：1人唱歌1人跳舞的有C12·C15·C13=30种情形，2人均未被选中的情形有C25·C23=30种，两种结果完全相同，重复计算的部分和遗漏的部分正好抵消了！

教者：这两个数据的抵消，是其中暗藏着一种规律还是仅在本题中恰是一次巧合呢？我们把数据改一改，看看这种做法是否行得通？

学生当场把数据换换，得到了一个变题：某歌舞演出队共有10人，其中8人能唱歌，6人会跳舞，今从10人中选2人唱歌2人跳舞，问共有多少种不同的选派方案？

大家立刻展开演算：

依照甲同学的处理方法，可以这样列式：8+6-10=4，10人中有，4人既会唱歌也会跳舞，有4人只会唱歌，有2人只会跳舞.于是：第一类，从只会唱歌的4人中选2人唱歌再从会跳舞的6人中选2人跳舞；第二类，把只会跳舞的2人选出来跳舞再从会唱歌的8人中选2人唱歌.这样共有C24C26+C22C28=118种不同的选派方案.

而以唱歌选手的来源为线索得到如下结果：C24C26+C14C14C25+C24C22=256，结果不同了！不用多说，显然前例的结果相等只是一种巧合！

3.基本方法的归纳

那么，此类问题的一般性的思考方式是什么呢？应当以什么为抓手呢？经过反复讨论，大家形成共识：从集合论的角度看，“全能”的对象其实就是两个集合的公共元素.解题时可以应用文恩图先求得对应集合的元素个数，再由分类原理按元素的性质进行分类，依照事件发生的连续过程分步，最后将各类方法数相加.分类时要做到标准明确，分步层次清楚，不重不漏.分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终，是解决此类问题必须坚持的原则.