图形在数学教学中的重要性

闫永芳

【摘要】图形在数学课堂教学中最为重要，它使学生对课本知识从感性认识上升到理性认识，也是培养学生正确地进行思考数学问题和准确表达数形结合思想的重要途径.在数学教学中数形结合思想的培养尤为重要.

【关键词】构造图形；独特解法；切割线定理；解决问题

图形在解决数学问题中占有很大的比重，我们都知道几何离不开图形，但是代数和图形也是分不开的，有相应图形的出现数学问题会变得尤为简单.图形给我们解决数学问题带来很大的帮助.下面我从几方面来说说图形给我们带来的方便.

1.探索问题时图形会给我们带来独特解法

例1 证明四边形的内角和等于360°.

证明这个定理，学生能够想到用一条或两条对角线把四边形分割成两个或四个三角形来证明，这种方法不错，但还可探索其他分割方法，以下是学生作图找到的六种新的分割方法，是图形给了学生很大的启发.

图形给学生创造了解决问题的思路，同时也提高了学生的创造性思维能力.要鼓励学生标新立异，使其用尽可能用自己的方式去解决问题.

2.作不同的图形一题就会有不同的解法，从而培养学生的思维能力

新教学大纲要求教师树立学生发展的教育观念，改革教学方法和教学手段，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神和实践能力，提高学生的素质，塑造学生创造性的人格，现行数学课本中许多题内涵丰富，对学生思维能力有不同寻常的作用和丰富的教学价值.因此在教学中要善于通过“图形”引导学生的思维能力的发展.

例2 如图，在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD=2，AE=1，求CD的长.

分析1 如图，由AD，AB分别是⊙O的切线和割线，可用切割线定理求出AB的长.由CB=CD，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出CD的长.

解法1 由切割线定理得AD2=AE·AB，

即22=1·AB，∴BC=CD.∴AB=4.

∴（CD+AD）2=CB2+42，

即（CD+2）2=CD2+42，

解得：CD=3.

分析2 在△ABC中，利用勾股定理求CD的长，应先求出⊙O的半径，这是解决问题的关键.

解法2 如图，连接DO，则DO⊥AC，

设DO=x，则AO=x+1.

∵（x+1）2=x2+22，

∴2x=3，即x=32.

然后，在Rt△ABC中，由勾股定理求出CD的长.（以下同解法1，略）

分析3 寻找CD与BE的关系，也可以用面积法，即由三角形的面积公式去解.

解法3 如图，连接OD，OD⊥AC，根据前面解法知BE=3.

∵S△ABC=S△CAO=S△COB，

∴12AB·BC=12AC·OD+12OB·BC，

即AB·BC=AC·OD+OB·BC.

∵AB=1+BE=1+2OB，AC=2+CD，BC=CD，

∴（1+2OB）·CD=（2+CD）·OB+OB·CD.

∴CD=2OB=3.

分析4 由△ADE∽△ABD可求出DBDE的值，而在Rt△CBO∽Rt△BDE中CBOD=BDDE，从而可求出CB的长.

解法4 如图，连接DE，DB，CO，则∠ADE=∠ABD.

∵△ADE∽△ABD，∴DEBD=ADAB.

由前面解法知AB=4，AD=2，

∴BDDE=2.

在△CBO与△BDE中，

∵∠CBO=∠BDE=90°，∠COB=∠BED （CO∥DE），

∴△CBO∽△BDE.∴BCBO=BDBE=2，

即BC=2BO=2×32=3，于是DC=BC=3.

此题用不同的作图方法，从不同的角度，沿着不同的方向寻找问题的解法.在这几种解法中，运用了几何图形和初中的许多知识和方法（例如：切割线定理、勾股定理、相似三角形等），它对培养学生思维的发散性、广阔性和灵活性是很有益的.

3.构造图形，解决问题，充分发挥学生的主动性

我们学习数学的过程中，有很多问题利用一般的方法很难解决，于是我们要考虑能否将“数”转化为“形”，也就是构造一个图形来解决问题.

例3 试求函数f（θ）=3-2cosθ-2sinθ+2+2cosθ的最小值.

分析 本题难度较大，用一般的方法不宜求解，且过程十分繁琐，于是我们考虑将“数”转化为“形”.

解 f（θ）=3-2cosθ-2sinθ+2+2cosθ=（cosθ-1）2+（sinθ-1）2+（cosθ+1）2+sin2θ=x+y，

则x=（cosθ-1）2+（sinθ-1）2为M（cosθ，sinθ）到点P（1，1）的距离，y=（cosθ+1）2+sin2θ为点M到点Q（-1，0）的距离，而点M（cosθ，sinθ）是单位圆上的点M到两定点P，Q距离和的最小值.

如图所示，当M为PQ与单位圆的交点时MP+MQ有最小值，此时MP+MQ=PQ=1+22=5，即f（θ）的最小值为5.

例4 已知：0

分析 a2+b2表示以a， b为直角边的直角三角形的斜边，因此本题也可用几何法解决.

解 如图，在单位正方形中，

BD=2，OD=a2+b2，OB=（1-a）2+（1-b）2.

因为OB+OD≥BD（当且仅当O在BD上时取“2”），

所以a2+b2+（1-a）2+（1-b）2≥2.

以上几个例子都说明图形在数学中的重要性，在长期教学实践中，对基础题加以研究，触类旁通，从各个方面充分发挥学生对图形的构造能力.激发学生学习数学的兴趣，增强学习积极性，是我们每位数学教师的希望.同时，也使教育的功能和目标得到更好的落实.所以，图形在数学学习和教学中是非常重要的，我们要想办法培养学生去创造图形，应用图形来解决实际问题的能力.