谈解析函数中有限孤立奇点的判定方法

张继兵

【摘要】有限孤立奇点是解析函数的奇点中最重要的内容，是求复数积分的重要工具.下面给出判定有限孤立奇点的类型有三种方法，即定义法、定理法、复合法.

【关键词】可去奇点；极点；本质奇点

解析函数是复变函数论研究的主要对象，孤立奇点是解析函数的奇点中最重要的内容，它是判定整函数、有理函数、亚纯函数等的依据，也是求复数积分的重要工具.下面谈谈解析函数孤立奇点的判定方法.

一、定义法

孤立奇点分三类，它们是可去奇点、极点、本质奇点.定义如下：

1.设a≠∞（以下的a均满足为a≠∞）是函数f（z）的孤立奇点，如果在点a处展成洛朗级数，展式含z-a的主要部分为零.称点a为函数f（z）的可去奇点.

例1 判定z=0是函数f（z）=1-coszz2的哪类孤立奇点.

解 f（z）=1-coszz2=1z2（1-∑∞n=0（-1）nz2n（2n）！）=∑∞n=1（-1）n+1z2n-2（2n）！ ，n∈N*.

由定义知z=0是函数f（z）=1-coszz2的可去奇点.

2.设a为函数的孤立奇点，如果在点a处展成洛朗级数，展式含z-a的主要部分为有限项，即f（z）=c-1z-a+c-2（z-a）2+…+c-m（z-a）m+∑∞n=0cn（z-a）n，其中m∈N*，n∈N*.称点a为函数f（z）的m阶极点.

二、定理法

有些函数在有限的孤立奇点处不易展成洛朗级数，便可以利用下面的定理来判定解析函数的孤立奇点的类型.

定理1.1 如果孤立奇点a为函数f（z）的可去奇点，则下列两条是等价的：

（1）limz→af（z）=b≠∞；

（2）f（z）在点a的某去心邻域内有界.

定理1.2 如果孤立奇点a为函数f（z）的极点，则下列三条是等价的：

（1）limz→af（z）=∞；

（2）f（z）在点a的某去心邻域内能表示成f（z）=λ（z）（z-a）m，其中λ（z）在点a的邻域内解析，且λ（a）≠0，则a为f（z）的m阶极点；

（3）g（z）=1f（z）以点a为m阶零点.

定理1.3 如果孤立奇点a为函数f（z）的本质奇点，则下列两条是等价的

（1）limz→af（z）不存在；

（2） 点a为函数1f（z）的本质奇点.

例2 判定z=0是函数f（z）=sinzz的哪类孤立奇点.

解 f（z）=limz→0sinzz=1.

由定理1.1知z=0是函数f（z）=sinzz的可去奇点.

例3 判定z=1是函数f（z）=（z-5）cosz（z-1）2的哪类孤立奇点.

解 令λ（z）=（z-5）cosz，因为λ（z）在复平面上解析，λ（1）=-4cos1≠0.

由定理1.2（2）知z=1是函数f（z）=（z-5）cosz（z-1）2的2阶极点.

三、复合法

对于由两个或两个以上的函数组成的新的函数判定孤立奇点类型可用复合法来判定，准确又快.具体方法如下：

定理2.1 函数f（z），g（z）分别以点a为m阶极点及n阶极点，则：

（1）当m≠n时，点a为f（z）+g（z）的max{m，n}的极点；当m=n时，点a是f（z）+g（z）的极点，其阶数不高于m，点a也可能是f（z）+g（z）的可去奇点.

（2）点a为f（z）·g（z）的m+n阶极点.

（3） 当mn时，点a为f（z）g（z）的m-n阶的极点.

定理2.2 函数f（z）不恒为零且以点a为解析点或极点，函数g（z）以点a为本质奇点，则点a为函数f（z）±g（z），f（z）·g（z），f（z）g（z）的本质奇点.

例4 判定z=0是函数f（z）=sin1z+1z2的哪类孤立奇点.

解 因为z=0是sin1z的本质奇点，z=0是1z2的2阶极点.

所以由定理2.2知z=0是函数f（z）=sin1z+1z2的本质奇点.

总之，掌握了解析函数的孤立奇点的判定方法，为之后的复数积分的计算奠定了良好的基础，也是学好复变函数重要基础.