关于反例在复数教学中的作用

陈孟算

指出错误最有说服力也是最有效的办法莫过于举出反例，反例在中学数学中的应用极为广泛，在教学中若能应用得当，常可达到意想不到的效果.本文就反例在复数教学中的作用谈谈几点看法.

1、反例是深化概念，加深理解基础知识的重要手段

数学的概念、定理或公式一般都是从正面进行论述的，这往往导致学生机械地、片面地理解概念，对一个新学的定理、公式又往往忽略了其中的关键性词句或对符号意义不明确.如果在教学过程中，在学生正面认识概念、定理、公式的基础上，适时地通过反例从反面、侧面去剖析，那么就可深化对概念、定理、公式的理解.这时反例就成加深理解和记忆的重要手段.

例如：在讲授复数相等的概念时，a+bi=c+di（a，b，c，d∈R）a=c，b=d

学生往往略去a，b，c，d∈R，对此应及时地举出反例，如a=0，b=i，c=-1，d=0时，a+bi=c+di但a≠c，b≠d.因而澄清学生的错误认识，明确复数相等概念中a，b，c，d∈R的重要性.

又如，在学习虚根共轭成对定理时，学生由于对定理中“实系数”这个关键性词句的忽略、不重视而造成错误，这时通过反例：已知方程x2+2x+m=0有一个根i，求m的值.学生往往错解为：因为i是原方程的根，所以-i也是原方程 的根，由韦达定理得m=i×（-i）=1，但根据上面结果原方程变为x2+2x+1=0，显然±i都不是它的根.正解为：因为i是原方程的根，所以i2+2i+m=0得m=1-2i，这时原方程的另一个根为2-i，可见对于非实系数方程不能利用虚根共轭成对定理.

二、反例是克服负迁移的有效措施

知识的负迁移在学习中的反作用是不可忽视的，它妨碍了学生的进一步学习，在教学中若能适时地选用反例，可有效地克服负迁移.

例如，在学习复数时，学生常常想当然地把实数中的结论不加分析地运用到复数中，从而造成错误.比如“若z21+z22=0则z1=z2=0”，“z2=|z|2”，“实系数二次方程的两根x1，x2，则|x1-x2|=（x1+x2）2-4x1x2”等实数范围成立，但在复数范围不成立的想法.我们可通过反例，说明其不成立.所以在平时注意实数范围内成立结论，不能随意地不加分析地运用到复数中去，从而有效地防止了知识的负迁移.

三、反例是否定假命题的主要工具

要证明一个命题的正确性，必须经过严密的论证，而要否定一个命题，则只须举出一个与结论矛盾的例子（即反例）就行了.例如要否定命题：z+z-=0的充要条件是z为纯虚数，只须举出反例：z=0；再如两个复数不能比较大小，只须举出反例复数z1=3

四、反例是发展思维，培养能力，提高创造力的重要途径

优良的思维品质来源于积极的思维活动，只有在积极的思维活动过程中，思维能力才能得到充分的发展.教学中引导学生构造反例是培养学生思维能力、促进思维发展的重要途径.一般地，构造反例没有定法，有的甚至非常困难.这样给学生提供了一个极好的创造性的题材，而每当学生成功地构造了一个反例就会无比激动，这给学生创造性带来新的活力.而在构造反例的过程中，学生势必严谨地考虑问题的各个方面，这对培养学生全面分析问题和严格推理的能力是极为有效的.所以说指导学生构造反例对培养学生思维的广阔性、严密性等良好的思维品质，提高学生的创造能力有非常重要的作用.

最后必须指出的是：在运用反例教学及指导学生构造反例时都不能离开具体的教学内容，单纯地、一味地追求反例效果也是不切实际的.