数学模型在初中数学教学活动中的应用

吴江

摘 要：初中数学教学活动中，教师善于运用数学模型能够帮助学生理解问题本质，使其尽快找到解题思路。本文对数学模型在初中教学活动中的应用进行探讨，以期为提高初中数学课堂教学效率提供参考。

关键词：数学模型；初中数学；数学教学

初中數学涉及函数、不等式、方程等诸多内容，加上问题类型复杂多变，很多学生感觉解题十分困难，而使用数学模型进行解题往往能够达取得事半功倍的效果。因此，注重数学模型的在教学活动中的应用一直是教育工作者讨论的热门话题。

一、利用数学模型教学，化难为易

初中教学活动中常会遇到和现实生活联系紧密的数学问题，学生普遍反映解答这类问题不知如何下手。为此，初中数学教师应引导和帮助学生理解问题的实质，通过建立数学模型将问题化难为易，最终达到解决的目的。

例如：小明身高1.8m，一次将篮球打在距他2m远的地面上，篮球碰撞到地面反弹到墙面上，且篮球落地点和墙之间的距离为6米，则篮球撞在墙面多高的位置处？

该情境学生比较常见，但是由于不知道怎样将其和数学知识联系起来，因此很多学生不知道怎么解答。此时数学教师应注重引导，通过构建清晰的数学模型帮助学生解答。解答该题目时，笔者先让学生解答下面的数学问题。

如图1所示：∠BCD=∠BED=90°且∠ABC=∠DBE，AC=1.8，CB=2，BE=6，求DE的长度。学生解答该类题目感觉比较简单，很容易计算出结果，然后引导学生将其和上面的例题进行对比，结果学生恍然大悟。

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图1

学生之所以解答不出来例题，原因可分为以下几种：不知道如何运用已知条件，例如很多学生忽略了“小明身高1.8m”；部分学生不知道例题中的隐含条件，即篮球落地和反弹方向与地面的夹角相同；部分学生不能将情境抽象为数学问题，最终无法顺利地解答出该题。使用数学模型教学，能加深学生对题目的理解，使之很容易地解出该题目。

二、利用数学模型教学，加深理解

初中数学教学活动中有很多数学公式和定理，很多教师只是一味地要求学生死记硬背，而不重视公式和定理的推导。结果很多学生对公式一知半解，平常解题时不能灵活运用。

例如：讲解平法差公式（a+b）（a-b）=a2-b2时，很多教师只是利用多项式相乘简单地进行说明，但是平方差公式有什么几何意义呢？讲解过该定理后，笔者提问了班里数学成绩比较好的学生，结果能够完全叙述清楚的寥寥无几。为此，笔者在黑板上画出了下面两幅图，并描述为：已知正方形边长为a，在其中一角减去边长为b的正方形，剩余面积是多少？此时，很多学生回答正方形剩余面积为a2-b2，后来我将区域①的部分，转移到图形的右侧，此时学生明白了笔者的意图。

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事实上，推导数学公式和定理的过程正是建立数学模型的过程。该例题模型的建立使学生对平方差公式有了更深层次的理解，同时也为学生解决数学问题提供了一个良好的思路，即适当运用几何知识往往能取得意想不到的效果。

三、利用数学模型教学，提升能力

初中数学教学活动中应注重渗透数学模型思想，通过讲解典型例题，引导学生进行积极思考，不断提高数学解题能力。另外，在初中数学教学活动中，学生解答起“归纳总结”类问题感觉难度较大，下面运用数学模型教学，对该类题目进行探讨。

例如：学校举办一次篮球比赛，比赛规则为每队之间均进行一次比赛，总共有6队参赛。问题为：①此次篮球比赛共进行多少场？②如果共有10队参赛需要进行几次比赛？

很多学生不知道该怎样解答该题目，讲解该题时，笔者推荐学生使用列举归纳法，即让学生思考参赛队依次为2队、3队、4队等时各需要举行几次比赛？并列出以下表格。

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结果发现参赛队数目和需要参加比赛的次数存在一定的函数关系，根据列举出来的数据，猜想其满足函数y=■x2-■x，这样便建立了一个数学模型。建立的数学模型是否正确呢？此时只要使用任意一个数字进行验证即可。通过验证，建立的数学模型完全正确。

学生学习新知识后，数学教师应结合数学内容讲解典型例题，培养学生利用数学模型解答问题的素养，进而提高学生的解题效率。

四、利用数学模型教学，创新思维

初中数学教师在教学中，既要注重对数学基础理论知识的讲解，提高学生的解题水平，也要注重利用数学模型培养学生的创新思维，拓宽学生思考问题的广度，丰富学生解决问题的方法。例如：教师在讲解鸡兔同笼问题的时候，就可以借助如下例题引导学生建立不同的数学模型，培养学生的创新能力。例题：笼子里关着一群鸡和兔子，数头有35个，数脚有94只，问笼子里鸡和兔子各多少只？

方法一：学生可以选用列表法，将鸡与兔可能存在的数目情况一一列出，进而推算出鸡和兔子的数目。

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虽然这种方法解题过程繁琐、笨拙，而且如果笼子中鸡与兔的数量过多，此方法的劣势则更为明显，但是依据构建的数学模型，学生很容易就找到头数和腿数之间的关系，思考的过程非常简单，也易于学生理解和接受。

方法二：学生可以采用算数的方法，以假设的方法对鸡与兔的数目进行推算。如假如35只全是兔子，则总腿数与实际数目的差值和兔腿与鸡腿差值的比值即为鸡的数目，其解题过程为：鸡的数目=（4×35-94）÷（4-2）=23，兔的数目=35-23=12。

此种方法虽然难于思考和理解，并且如果学生的思维角度不同，其计算的过程也会相应地变化，但是依据构建的数学模型，以极限的思想进行分析和研究，学生也会感觉到解法的巧妙之处。同时，解题过程简单明了，对于不愿意进行繁琐计算和乐于分析思考的初中学生而言，这不失为一种很好的解题途径。

方法三：学生可以利用方程思想，通过设未知数，找等量关系推导鸡与兔的数目。例如学生可以以总腿数为等量关系，以鸡的数目为未知量，解法如下：

解：设笼中鸡的数目为x只，则兔的数目为（35-x）只，由题意可得

2x+4（35-x）=94

解之，得

x=23，则兔的数目=35-23=12

答：笼中鸡的数目为23只，兔的数目为12只。

此种方法利用方程的思想，借助等量关系构建数学模型，并且根据不同的等量关系和未知量的选择，还可以列出很多等式，对于拓宽学生的思路很有帮助。

从例题的几种解法中可以看出，无论是以表格的形式，还是运用方程的思想，教师借助构建的数学模型，都可以很好地拓宽学生的思路，并且帮助学生在数学模型的指导下，独立地思考和分析问题，这不仅可以提高学生的数学综合能力，培养学生的数学创新思维，也对学生学以致用大有帮助。

五、总结

数学是较为抽象的学科且涉及的问题灵活多变，因此初中数学教师应注重将数学模型引入到教学活动实践中，将数学题目化繁为简，帮助学生理解和分析，提高学生的解题效率和准确率。同时，教师还可以借助构建的数学模型，培养学生的创新思维，拓宽学生的数学视野和思路，让学生学会从不同角度去分析和思考问题，进而形成良好的数学素养。

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