中学数学教学美感教育的两种路径

许卫俊

数学教学应具有美感教育的价值，这不仅是因为数学本身就是一种美的存在，而且也是由学科教学的教育属性（美育是教育的重要组成部分）所决定的.英国剑桥大学数学教授、1950年诺贝尔文学奖获得者伯特兰·罗素说过这么一段话：“数学包含的不仅是真理，也有无上的美，一种冷峭而严峻的美，恰像一尊雕塑.”在《普通高中数学课程标准（实验）》中也明确提出了，在数学教学中应帮助学生“崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义”.数学之美，有外在形式之美和内在的实质之美之分，因此，笔者认为，数学教学中的美感教育路径也就有两种：

一、直觉感知的路径：赏数学形式之美

数学是一门研究、揭示空间形式和数量关系及其规律的科学，因而数学美首先体现为数学的形式之美.在美感教育中，形式美育不仅是其重要组成部分，也是其最为基础的部分.从中我们不难看出，“形”成为了数学教育与美感教育的交集，从感知、赏析数学形式之美中让学生从中获得美学意义，是数学美感教育的有效契机和重要途径.数学的形式之美，19世纪末法国数学家庞加莱用上了诸如“雅致”“对称”“平衡”“秩序”“统一”等词语加以形容，而这样的美感形态往往是通过人的直觉感知得到的，因此，在数学教学中我们可以通过直觉感知的路径去实施美感教育.

直觉感知路径，其实质就是要让抽象的数学知识能够“美观”地呈现在学生面前，并且学生能够利用自己的感官直接感知得到.直觉感觉美感教育路径，我们应把握好以下三点：①就数学知识形态而言，应具有和谐之美、对称之美、秩序之美、统一之美；②就数学知识呈现而言，应体现出生动性、形象性、直观性、具体性的特征；③就教学方法而言，应采用观察法和演示法.比如，对称性被誉为一种最能给人以美感的形式，在几何中的轴对称和中心对称，如抛物线、正六边形、圆等，通常通过直观感知，就能感受到数学的对称之美.但是，有些数学之美，则需要在教学动态演示和学生动手操作中挖掘出来.比如，在对“椭圆定义的引入”的教学中，则通过课件演示的方式：

在这样的教学片段中，留给学生深刻印象的是线段l和点M留下的轨迹，这种轨迹是美的，但这种美是蕴藏于动态之中的，只有在演示的过程中，让学生明晰现实世界中的数量关系和空间形式的客观规律，而这些规律又是以数学的和谐之美、简约之美、奇异之美呈现.直觉感知的要点在于透过美的现象看到本质，揭示内在规律，实现对数学美学意义的把握.

二、理性探究的路径：品数学实质之美

数学以数字、图形等符号或语言揭示自然规律及本质属性，因而数学具有严谨的逻辑性、高度的抽象性和广泛的应用性.通过感官直接感知数学的外在美，但数学之美更应该是美在数学的实质、数学的内在品质.人们常常把数学比喻为“思维的体操”，在这个比喻中有两个关键词：一是“体操”，一是“思维”.体操看似是一种外显的行为艺术，但本质上是内在美的外在表现，其美就美在韵律和节奏；思维是人的心理活动，数学中的思维通常表现为比较与分类、分析与综合、归纳与演绎、抽象与概括、类比与联想等理性探究过程.笔者认为，数学之美除了形式美外，还在于数学思维的韵律美和节奏美.如果我们在数学教学中的美感教育仅仅停留在感性认识层面，是很难品味出数学美的意蕴、悟出数学美的内涵的，美感教育的目标最终难以达成.

因此，我们有必要让学生通过理性探究的路径，让学生在数学知识与技能、过程与方法的习得中获得美感教育.理性探究的路径，不是让学生记住结论，也不是由教师单向度知识传授，而是需要让学生理解数学问题背景，让学生学会数学猜想与联想，并暴露探究的思维过程，从这样的过程中获得美感教育.在此，我们需要把握以下三点：一是通过探究活动去把握数学简洁美内涵.数学的魅力在于能够用简洁数学语言揭示事物规律，对于高中学生，我们可以通过把圆无限细分为小扇形，圆被分成无数N个三角形，然后通过微积分方法，找出类似的规律，从而明晰隐含在简洁数学语言中的美.二是在探究活动去把握数学奇异美的内涵.如对数螺线——对数螺线上任一点处的切线与该点到极点连线的夹角为定值，对数螺线在反演变换下仍为对数螺线等，因而被雅各布·伯努利称为神奇的曲线.这样在生活中常能看见的曲线，在教学过程中，我们需要的是让学生对这一定值的推理与证明.三是在探究活动中去把握数学的统一美.比如，通过归纳法、类比法，去考察椭圆、抛物线、双曲线的离心率，最终可以将椭圆、抛物线、双曲线统一在圆锥曲线里，只是这三者的离心率分别为小于1、等于1、大于1而已，从而让学生在理性探究中领悟数学的统一美.

美感教育分为两个层次，第一层次是形式美，第二层次是实质美.在数学美感教育中，我们同样需要经历两种路径：一是感知数学的形式美，二是理解数学的实质美.前者是基础，后者是升华，只有将两者有机结合，才能让学生在学习的过程中真正地体会数学美，并不断提升自身的人文素养.