Roper睸uffridge算子的系数估计

赵娜

【摘要】 双全纯映照的系数估计是多复变函数论的重要组成部分，而RoperSuffridge算子在由单复变数的全纯函数构造多复变数的双全纯映照中有着至关重要的作用.本文是在多复变数的背景之下，以一类特殊的在Cn中的单位球Bn上保持星形性质的算子F（z）为研究对象，从单位圆盘上的星形函数入手来研究这类算子在n=2时的系数估计.

【关键词】 系数估计；偏差定理；推广的RoperSuffridge算子；星形映照

一、引言

多复变函数论与单复变函数论有着本质的区别.一方面，二者在理论结构上有着本质的不同；另一方面，单复变中很容易通过具体的全纯函数来解释某个问题，说明某种现象，而多复变则不然，要给出某种映照的例子是很困难的.因此，构造具有某种性质的多复变全纯映照是一件有意义的工作.

1995年，Roper和Suffridge构造了一个算子，称为RoperSuffridge延拓算子，定义如下：Φn（f）（z）=F（z）=（f（z1）， f′（z1） z0）.

其中z=（z1，z0）∈Bn，z1∈Δ，z0=（z2，…，zn）∈Cn-1，平方根取分支使得 f′（0） =1.Roper和Suffridge证明：若f（z1）是单位圆盘Δ上的正规化单叶凸函数，则F（z）是Cn中的单位球Bn上的正规化双全纯凸映照；尔后，Graham与Kohr又证明：若f（z1）是单位圆盘Δ上的正规化单叶星形函数，则F（z）是Cn中的单位球Bn上的正规化双全纯星形映照.这一重要发现立即引起了人们的关注，相继有国内外数学工作者将该算子做了不同形式的推广与改进.