巧用“数形结合”，拓宽解题思路

周芳

【摘要】 数形结合方法是一种重要的数学方法，它体现了教育改革倡导的新的思想方法.在教学中，重视数形渗透，使学生通过“以形助数，以数解形”，拓宽了解题思路.

【关键词】 数形结合；数量关系；空间形式

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微，数与形结合百般好，隔离分家万事非.”“数”与“形”反映了事物两方面的属性.

我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系.数学研究的对象是数量关系和空间形式，即“数”与“形”两个方面，由于坐标系的建立，使实数对与坐标平面上的点建立了一一对应的关系，进而可以使函数解析式与函数图像、方程与曲线建立起一一对应的关系，使数量关系的研究可以转化为图形性质的研究；反之，也可以使图像性质的研究转化为数量关系的研究，即数与形相互渗透、相互转化.同时，数形渗透是中学数学中四种重要思想方法之一，在教学中，重视数形渗透，使学生通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，有利于多层次、多角度地展开思维训练，有利于学生的思维能力和解题能力的提高，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.下面举例说明以形助数、以数解形使某些问题解法更简便.

例1 已知5x+12y=60，求 x2+y2 的最小值.

分析 按常规解法，是把问题转为求一元函数的最小值，思路清晰，但解法较繁，若注意到在直角坐标系中5x+12y=60表示一直线l， x2+y2 表示原点O与点P（x，y）的距离，且点P（x，y） 在直线l上，于是问题转化为求原点与直线l上的点之间的最短距离.联想平几知识，可知这个最短距离就是原点O与直线l的距离.这样，数的问题就转化为形的问题，再联想解几中点线距离公式，于是形又转化

为数，显然，此法计算最简单.