一道圆锥曲线最值题的探讨

范萍

圆锥曲线是解析几何的精华所在，圆锥曲线的最值问题就成了高考的重要内容之一，它融合了解析几何、不等式、函数于一体.对解题者来说，能力要求也比较高，因此这类问题成了高考中数学的难关，但其解法还是有章可循、有法可依的.本文来谈谈笔者遇到的一道求圆锥曲线最值的题目：

已知椭圆 x2 25 + y2 9 =1的左、右焦点为F1，F2，A（2，1）是椭圆内一点，P为椭圆上任意一点，求PA+ 5 4 PF2的最小值.

这道题讨论的是PA+ 1 e PF2（e是椭圆的离心率）的最值，点A（2，1）在椭圆的内部，利用圆锥曲线的统一定义“化曲为直”来解决：

设点P到右准线x= 25 4 的距离为d，由 PF2 d =e= 4 5 ，得到d= 5 4 PF2，所以PA+ 5 4 PF2=PA+d≤ 25 4 -2= 17 4 ，此时点P的坐标为 10 2 3 ，1 .

但是，这道题里的系数条件似乎有些苛刻，而且显得生硬，让学生很难理解系数的设计用意.鉴于此，笔者在系数上做了些改动，找准问题的实质背景，进行一些通解探索，供读者参考.

（1）求PA-PF2的最值.

利用三角形任意两边之差小于第三边，有

PA-PF2 ≤AF2， 即-AF2≤PA-PF2≤AF2.

当点P为线段AF2的延长线与椭圆的交点时，PA-PF2取得最大值；当点P为线段F2A的延长线与椭圆的交点时，PA-PF2取得最小值.

（2）求PA+PF2的最值.

当P在椭圆上运动的时候，我们不能像前面一样直接用一个明确的长度来描述它的最值大小，也不能清楚地找到取得最值的位置，如何解决呢？这里可以把这个问题转化一下.因为PA+PF2=PA+2a-PF1=PA-PF1+2a，所以就变成求PA-PF1的取值范围问题.化归为上面的问题：-AF1≤PA-PF1≤AF1，从而求解出

2a-AF1≤PA-PF1≤2a+AF1.

对于点在椭圆外，类似的结论也成立.在这道题中，我们不妨设点M（-6，1）.

PM+ 5 4 PF2的最小值求解方法和定点A在椭圆内一样，这边就不详述了.重点研究

PM-PF2和PM+PF2的取值范围.

由三角形两边之 差小于第三边，有PM- PF2≤MF2，因此，当点P为线段MF2的延长线与椭圆的交点时，PM-PF2有最大值MF2.而在求它的最小值时，应该先把PM-PF2转化为PM-（2a-PF1）=PM+PF1-2a，由三角形两边之和大于第三边，有PM+PF1≥MF1，这样，当点P为线段MF1与椭圆的交点时，PM-PF2有最小值MF1-2a.从而求出PM-PF2的取值范围为[MF1-2a，MF2].

求PM+PF2的取值范围，可以效仿上述过程.

由三角形两边之和大于第三边，可得PM+PF2≥MF2，因此，当点P为线段MF2与椭圆的交点时，PM+PF2有最小值MF2；求最大值时，先把PM+PF2转化为PM+（2a-PF1）=（PM-PF1）+2a，因为PM-PF1≤MF1，所以当P为线段MF1的延长线与椭圆的交点时，PM+PF2取得最大值MF1+2a.从而求出PM+PF2的取值范围为[MF2，MF1+2a].

由此可见，只要合理地利用好圆锥曲线的定义，求解PM+mPF2的取值范围的这一类问题并不困难.如果m= 1 e ，那么利用圆锥曲线的统一定义转化为两条线段的长度之和，“化曲为直”来解决；如果m=±1，采取数形结合的思想，合理地利用好三角形中的“任意的两边之和大于第三边，任意的两边之差小于第三边”，如果不能直接看出来的，可以通过圆锥曲线的定义把PF2换成2a-PF1，再去解决.最终取得最值的位置都应该在直线与曲线的交点处.

当然，如果这里的椭圆换为双曲线、抛物线，也有类似的结论.

把一道典型的圆锥题通过多角度、不同背景的变式，由浅入深，由简单到复杂，可让学生掌握姊妹题甚至一类题的解法，最终把隐含的有意义的结论一一推导出来，通过改变条件，发现由不同条件可以得出相应不同或相同的结论，找出了不同知识之间的联系与规律，学生在对基本原理、规律的探究、发现、归纳和应用的过程中，总结规律，既知其然，更知其所以然，培养了学生运用数学思想方法去分析问题和解决问题的能力、探究创新的能力以及灵活多变的思维能力.