直线和平面上的整点问题

杨丰赫　杨帆

【摘要】所谓整点就是各坐标分量都为整数的点，也可以叫作格点平面及空间上的直线以及空间平面的延伸范围是无限的，本文将给出其过整点的充要条件以及找出所有整点的方法.

【关键词】整点；直线；平面

文中{a，b}表示a，b的最大公约数，a|b表示a整除b.

（一）xOy平面上的直线

1.对于和x轴或y轴平行的直线，即x=x0或y=y0，当且仅当x0，y0

取整数是直线通过整点且过无数个整点，否则直线不过任何整点.

2.对于直线y=kx+b，（k≠0）.

[1]当k是无理数时，只想至多通过一个整点.

证假设此时直线过两个整点P1（x1，y1），P2（x2，y2），则有k=y2-y1[]x2-x1，即k=p[]q，其中p，q∈Z，所以k是有理数，与条件矛盾，所以假设不成立，原命题成立.

推论1当k∈R＼＼Q，b∈Z时，直线只过一个整点（0，b）

推论2当k∈R＼＼Q，b∈Q＼＼Z时，直线不过任何整数点.

推论3当k∈R＼＼Q，b∈R＼＼Q时，当且仅当b=mk+n，（m，n∈Z）时，过一个整点（-m，n）.

[2]当k是有理数时直线或者不过任何整点，或者经过无数个整点.（此时直线y=kx+b可写作y=p[]qx+b，其中p，q∈Z，q>0且p与q互质，下文此形式的直线都是这个含义，特别的，当b也是有理数时，记作y=p[]qx+p1[]q1，其中p1，q1∈Z，q1>0且p1与q1互质）

证首先找出一个例子，直线y=x+1[]2，它一定不过任何整点，否则有2y=2x+1，这显然是不可能的，即直线可能不经过任何整点.若直线y=kx+b经过一个整点（x0，y0），则：当x=x1=x0+kq（k∈Z）时，y1=p[]q（x0+kq）+b=p[]qx0+b+kp=y0+kp∈Z，即整点（x1，y1）在直线y=kx+b上，当k取得不同值时，将得到无数个整点.

推论4若已知直线过一个整点（x0，y0），则其上的所有整点可表示为：（x0+kq，y0+kp），（k∈Z）.

推论5当k∈Q，b∈R＼＼Q时，y=kx+b不经过任何整点.

所以现在就可以讨论最一般的情况k，b∈Q.

此时y=p[]qx+p1[]q1=bx+c[]a（a，b，c是通分后产生的整数，即有b[]a=p[]q，c[]a=p1[]q1，下文出现的a，b，c均是这个含义）.

当b=0时，可以找到整点（q，p），再由推论2就可确定所有整点.

当b≠0时，对于y=p[]qx+p1[]q1：

结论1若其在区间＼[x0，x0+q-1＼]（x0∈Z）上无整点，则其不过任何整点.

证假设其过整点（x1，y1），且有mq≤x1-x0<（m+1）q，

则x0≤x1-mq

当x=x2=x1-mq时，y2=p[]qx1+p1[]q1-mp=y1-mp∈Z，

即该直线在＼[x0，x0+q-1＼]上有整点（x2，y2），与条件矛盾，所以假设不成立，原命题成立.

结论2其在区间＼[xo，x0+q-1＼]上至多只能有一个整点.

证假设有整点（x1，y1），（x2，y2）在该直线上，

且x1，x2∈＼[xo，x0+q-1＼]，x1≠x2，不妨设x1>x2，

则p[]q=y1-y2[]x1-x2，但x1-x2，y1-y2∈Z，且0

由此，对于a，b较小的直线，可以通过有限次验证的方法来找出其上的整点.可以取区间＼[1，q＼]上的所有整数作为x的值，看相应的y是否为整数，若所有y都不是整数，由（1）知其上无整点.一旦找到了一个整数y，由（2）知即可停止寻找，并通过推论4将其上所有的整点表示出来.

例如直线y=3x+4[]13，可以在＼[1，13＼]上找，但不妨将其改写为x=13y-4[]3，在＼[1，3＼]上找，取y=1得x=3，于是得整点（3，1），所以其上所有整点可表示为（3+13k，1+3k），（k∈Z）.

但是对于a，b很大的情况不可能逐一尝试，必须将其简化.

结论3直线L1：y=bx+c[]a上有整点的充要条件是直线L2：y=ax-c[]b-ak上有整点，其中k∈Z且b-ak≠0.

证必要性：设整点（x1，y1）∈L1，则有

ay1=bx1+c，即ay1-akx1=bx1-akx1+c，其中k∈Z且b-ak≠0.

即a（y1-akx1）=（b-ak）x1+c，x1=a（y1-kx1）-c[]b-ak，所以存在整点（y1-kx1，x1）∈L2.

充分性：设整点（x2，y2）∈L2，则有by2-aky2=ax2-c，

即ky2+x2=by2+c[]a，所以整点（y2，ky2+x2）∈L1.证毕.

有了这个结论，可以将复杂的直线不断简化，仿照求最大公约数的欧几里得法来化简是一种快速的方法，不妨设b>a，（b≤a时可以将ay-c转化到分子上）因为{b，a}={a，b-ak}，取k为a除b的商，当第n次化简后，bn-ank=0，即an={b，a}时，记an[]bn=m∈Z，则等价的问题是直线y=m[]1x+c[]an是否过整点，由结论1知，代入x=0看y是否为整数即可判定，即c[]an是否为整数.

推论6直线y=bx+c[]a过整点的充要条件是{a，b}|c，特别的，当{a，b}=1，即a，b互质时，其一定过整点.

推论7直线y=p[]qx+p1[]q1过整点的充要条件是q1|q.

有了以上内容，可通过xn=yn+1，yn=kn+1yn+1+xn+1的方法迭代来求x0，y0.

例如，对于直线y=283x-6[]789，转化为x=789y+6[]283，由{789，283}=1，知该直线一定过整点.

所以x=789y+6[]283过（x0，y0）

x=283y-6[]223过（x1，y1）k1=2，y0=x1，x0=2x1+y1

x=223y+6[]60过（x2，y2）k2=1，y1=x2，x1=x2+y2

x=60y-6[]43过（x3，y3）k3=3，y2=x3，x2=3x3+y3

x=43y+6[]17过（x4，y4）k4=1，y3=x4，x3=x4+y4

x=17y-6[]9过（x5，y5）k5=2，y4=x5，x4=2x5+y5

x=9y+6[]8过（x6，y6）k6=1，y5=x6，x5=x6+y6

x=8y-6[]1过（x7，y7）k7=1，y6=x7，x6=x7+y7

显然可以找到一个x7=2，y7=1，往回迭代可得到

x0=237，y0=85，所以直线y=283x-6[]789上的所有整点可表示为（237+789k，85+283k）（k∈Z）.

例如对于直线y=114x+4[]69，因为{114，69}=3，但3不能整除4，所以该直线不过任何整点.

上述对于xOy平面上直线的研究其实就是对两未知量关系的研究，所以空间直线和空间平面的问题可以向它转化.

（二）空间坐标系O-xyz下的直线

空间直线的标准方程为：x-x0[]A=y-y0[]B=z-z0[]C.（*）

可以将其看成一个含两个独立方程的线性方程组：

Bx-Ay=Bx0-Ay0，（1）Cx-Az=Cx0-Az0.（2）

利用（一）中的相关结论和方法来处理（1）式，若没有整数x，y使（1）式成立，则空间直线上无整点，因为方程组（*）的解必是（1）的解.若找出了整数x1，y1是（1）的解，当x1，y1唯一时，直接把x1代入（2）式，若解得z是整数z1，则该空间直线上仅有一个整点（x1，y1，z1）；当有无穷多个整数x，y满足（1）时，由（一）知，可写作x=x1+kq，y=y1+kp，k∈Z，将x=x1+kq代入（2）式，即得qCk-Az=C（x0-x1）-Az0（3），于是问题就变为找出整数k，z满足（3）式，即又变为两变量的问题.

（三）空间坐标系O-xyz下的平面

空间平面的一般方程为：Ax+By+Cz+D=0.

（A，B，C）为平面的一个法向量，不妨设A=1（A=0时即可转化为二维问题），此时x +By+Cz+D=0，

1.当B，C不都是无理数时，不妨设B为有理数，可写作x=py+（C1z+D1）[]q（p，q∈Z），由（一）中的结论知当且仅当C1z+D1=k{p，q}（k∈Z）时有整点，问题就转化为k，z的二元问题.

2.当B，C都是无理数时

[1]当C=mB+n（m，n∈Q）时，简化为kx+B（ky+m1z）+kn+kD=0，（k，m1∈Z），令y′=ky+m1z.（1）

即将问题简化为x，y′的二元问题，再通过将得出的整数y′代入（1），即可解决.

[2]当C≠mB+n（m，n∈Q）时，若D∈Z时，可得唯一的整点（-D，0，0）在平面上；若D∈Q＼＼Z，平面上不存在整点；若D∈R＼＼Q，当且仅当D=Bm1+Cm2+t，（m1，m2，t∈Z）时，平面过一个整点（-t，-m1，-m2）.

例如，平面6x+28y-13z-9=0，属于情况1，化为x=-28y+13z+9[]6，{-28，6}=2，所以13z+9=2k，k∈Z，由此解出z=2k1+1，k=13k1+11，再代回原式得x=-10k1-11，y=51k1+55，所以平面上所有的整点可表示为（-10k1-11+3k2，51k1+55-14k2，2k1+1）（k1，k2∈Z）.

例如，平面x-3y+3z-8=0，属于情况2中的[1]，化为x=3（y-z）+8=3y′+8，得x=8，y′=0，即y-z=0，所以平面上所有的整点可表示为（8，k，k）（k∈Z）.

上文中唯一还不太好确定的是无理数之间的线性表示问题，这属于数论的问题，一般情况下，这种线性关系较为明显，如3+22可以由3，2线性表示，不能由5，7线性表示.至此，直线和平面上的整点问题已基本解决.