数学思想在“二次根式”中给力

王福政

处处留心皆学问，生活中处处有数学.数学思想是数学的灵魂，是解决数学问题的“葵花宝典”.在学习“二次根式”这一章时，灵活运用数学思想，是解决“二次根式”问题最给力的“灵丹炒药”.本文通过实例着重介绍“二次根式”一章所蕴含的数学思想，希望能对同学们的数学学习有所帮助.

一、数形结合思想

数形结合思想是将数与形结合来进行分析、研究解决问题的一种思想方法.解决“二次根式”数形结合问题的方法一般是将“形”的直观结合“数”的细微，有助于找到解题思路，达到事半功倍的作用.

例1已知实数a，b在数轴上的位置如图所示.

试化简：a2+b2-（a-1）2+（b-1）2+（a-b）2.

解析观察数轴可知：a>b，0

∴a-b>0，a-1<0，b-1<0.

∴原式=|a|+|b|-|a-1|+|b-1|+|a-b|

=a-b-＼[-（a-1）＼]-（b-1）+（a-b）

=a-b+a-1-b+1+a-b

=3a-3b.

点评本例先由数轴上点的位置判断出a，b的符号，再确定被开方数中的底数的值的符号，最后运用a2=|a|进行化简.

二、转化思想

把复杂的变为简单的，把陌生的变为熟悉的，把未知的知识变为已知的知识，把此知识点变为彼知识点，把综合的变为单一的，是数学转化思想的具体体现.

例2函数y=1x-1的自变量的取值范围是.

解析要确定函数自变量的取值范围，必须使x的取值范围满足如下两个条件：①二次根式中的被开方数为非负数；②分式中分母不能为零.

于是有：x≥0，x-1≠0，∴x≥0且x≠1.

点评把确定函数自变量的取值范围问题转化为解不等式或不等式组的问题，而本例确定不等式的根据为：①二次根式中被开方数为非负数；②分式中分母不能为0，从而实现此知识点的有效转化.

三、整体思想

整体思想是指从题目的整体性质出发，着重对题目的整体结构的分析和改造，发现题目的整体结构特征，善于用“集成”的方法把所研究对象的具有共同特征的一部分（或全部）看成是一个整体，把握它们之间的联系，进行有目的、有意识的整体处理.

例3已知：x-1x=2，求x2+1x2+14的值.

解析将已知条件两边同时平方得：x+1x-2=4，

∴x+1x=6，再视x+1x为一整体，并用含x+1x的代数式表示x2+1x2，

于是有：x2+1x2+14=x+1x2+12=62+12=48=43.

点评解本例时，先要将注意力和出发点放在问题整体结构上，从而触及问题的本质，即把x+1[]x视为一个整体，从而避开烦锁的计算，使问题得以简洁快速的解决.

四、换元思想

运用数学元素的等量代换原理，把某一部分看成一个整体并用一个新字母代替来解题的方法称为换元法.换元法的本质是引进一个变量，对原来给定的关系进行分解或组合，达到把繁、难的计算简化的目的，从而沟通已知与未知，简化代数的结构形式，实现化繁为简的目标.