浅谈用数学归纳法来寻求加强不等式

童昌盛

【摘要】在数学归纳法证明数列不等式教学中，我们选择的试题常是不等式的两边均含有“n”，这样由“n=k”到“n=k+1”过程，不等式两边都在变化从而达到一种递推关系.但在数列不等式中，会常出现不等式的一边是一个常数，自然直接用数学归纳法一般行不通的，那么能否对不等式进行一定变形，使之再结合数学归纳法完成不等式的证明？本文欲结合3个具体的题目来谈谈用数学归纳法来寻求加强不等式的思想方法.

【关键词】加强不等式；数学归纳法

例1（2006年江西卷） 已知数列{an}满足：a1=32，an=3nan-12an-1+n-1（n≥2，n∈N*）.证明：对于一切正整数n，不等式a1·a2·a3·…·an<2·n！成立.

分析通过考察数列的通项公式，可得a1·a2·a3·…·an=n！1-131-132·…·1-13n.

为证a1·a2·a3·…·an<2·n！，只需证明不等式33-1·3232-1·…·3n3n-1<2.

设不等式33-1·3232-1·…·3n3n-1<2f（n）， 且0

当n=k时，假设33-1·3232-1·…·3k3k-1<2f（k）成立.则当n=k+1时，有33-1·3232-1·…·3k3k-1·3k+13k+1-1<2f（k）·3k+13k+1-1<2f（k+1）f（k）f（k+1）<3k+1-13k+1成立.所以，设f（k）=3k3k+c（c>0），则f（k）f（k+1）<3k+1-13k+1，即为3k+1+c3k+1+3c<3k+1-13k+1

32（k+1）+c·3k+1<32（k+1）-3k+1+c·3k+2-3c.

解得，c>3k+12×3k+1-3=12+1212×3k-1，此不等式恒成立，∴c>35.当n=1时，33-1<2f（1）=2×33+c，∴c≤1.故取c=1，即f（n）=3n3n+1.

所以，我们先用数学归纳法证明不等式：33-1·3232-1·…·3n3n-1<2·3n3n+1，不等式2·3n3n+1<2显然成立.

例2（2008年辽宁卷理科）在数列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列（n∈N*）.

（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测数列{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；

（Ⅱ）证明：1a1+b1+1a2+b2+…+1an+bn<512.

解析由（Ⅰ）得an+bn=（n+1）（2n+1），设

1a1+b1+1a2+b2+…+1an+bn=12×3+13×5+14×7+…+1（n+1）×（2n+1），12×3+13×5+14×7+…+1（n+1）×（2n+1）<512-f（n），其中f（n）>0.

显然，不等式512-f（n）<512成立.

下面用数学归纳法证明的过程来探究f（n）的表达式：

当n=k时，不等式12×3+13×5+14×7+…+1（k+1）×（2k+1）<512-f（k）成立.

那么，当n=k+1时，12×3+13×5+14×7+…+1（k+1）×（2k+1）+1（k+2）×（2k+3）<512-f（k）+1（k+2）×（2k+3）<512-f（k+1）.

所以，由此分析可知：f（k）-f（k+1）>1（k+2）×（2k+3）.

又∵1（k+2）×（2k+3）=12（k+2）×k+32=1k+32-1k+2<1k+1-1k+2，