放缩法证不等式的若干策略

刘伟益

不等式是中学数学的重要内容之一，同时也是高考中的热点和难点.高考试题中的不等式，着重考查考生对数学式的变形能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.在不等式的证明中，放缩法是一个有力的工具.放缩法的理论依据是不等式性质的传递性，难在找中间量，难在怎样放缩、怎样展开.证明不等式时，我们要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的放缩方法，这样才能达到事半功倍的效果，下面举例说明.

一、利用三角形的三边关系

例1已知a，b，c是△ABC的三边，求证：a1+a+b1+b>c1+c .

证明设函数f（x）=x1+x，即f（x）=1-11+x（x>0），显然f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，因为a，b，c是三角形三边，故有a+b>c，所以f（c）

即c1+c

则a1+a+b1+b>c1+c.

点评学生知道要利用三角形的三边关系，但无法找到放缩的方法，难在构造函数.

二、利用函数的单调性

例2求证：对于一切大于1的自然数n，恒有1+131+15·…·1+12n-1>1+2n2.

证明原不等式变形为

1+131+15·…·1+12n-11+2n>12.

令 f（n）=1+131+15·…·1+12n-11+2n ，（n=2，3，…），

则 f（n+1）f（n）=1+12n+11+2n2n+3

=2n+2（2n+1）（2n+3）

=2（n+1）4（n+1）2-1>2（n+1）4（n+1）2=1，

所以f（n+1）>f（n），即f（n）是单调增函数（n=2，3，…），

所以f（n）>f（2）=1645>12.故原不等式成立.

点评一开始学生就用数学归纳法进行尝试，结果失败，就放弃了.若使不等式的右边变为常数，再用单调性放缩就好了.

三、利用基本不等式

例3已知f（x）=x+1x（x>0）求证：fxn-fxn≥2n-2，n∈N*.

证明fxn-fxn=c1nxn-2+c2nxn-4+…+cn-1nx2-n.

设Tn-1=c1nxn-2+c2nxn-4+…+cn-1nx2-n，（1）

Tn-1=cn-1nx2-n+cn-2nx4-n+…+c1nxn-2. （2）

（1）+（2）得

2Tn-1=c1n（xn-2+x2-n）+c2nxn-4+x4-n+…+cn-1nx2-n+xn-2

≥2c1n+c2n+…+cn-1n=2（2n-2）.

∴Tn-1≥2n-2，（n∈N*）.