高三函数性质相关问题的解法

孙月华

【摘要】函数性质是高三数学学习的重要组成部分，其中函数最值问题又是函数性质的重中之重，在函数性质中占有很重的分量，具有很强的综合性和运用性，也是高考考查的重点.

【关键词】高三函数性质；相关问题；解法

求最值问题需要学生有全面的分析能力和灵活运用方法解决问题的能力，是高考数学中的热点和难点.本文笔者通过多年的高三数学教学实践活动，对于函数性质相关问题中的最值问题的解法进行了总结和归纳，仅供参考.

一、利用数形结合法求函数最值

数形结合法也是函数最值问题中比较常见的用法，举例说明：

典例设函数f（x）=x2-2x+2，x∈[t，t+1]，t∈R，求函数f（x）的最小值.

思路分析本题中区间是变化的，从运动的观点来看，让区间从左向右沿x轴正方向移动，分析移动到不同位置时对最值有什么影响.借助图形，可使问题的解决显得直观、清晰.

解析f（x）=x2-2x+2=（x-1）2+1，x∈[t，t+1]，t∈R，对称轴为x=1.

当t+1<1，即t<0时，函数图像如图 （1）所示，函数f（x）在区间[t，t+1]上为减函数，所以最小值为f（t+1）=t2+1；

当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，函数图像如图 （2）所示，最小值为f（1）=1；

当t>1时，函数图像如图 （3）所示，函数f（x）在区间[t，t+1]上为增函数，所以最小值为f（t）=t2-2t+2.

二、利用导数法求函数最值

用导数法求给定区间上函数的最值问题一般可用以下几步答题：a.求函数f（x）的导数f′（x）；b.求f（x）在给定区间上的单调性和极值；c.求f（x）在给定区间上的端点值；d.将f（x）的各极值与f（x）的端点值进行比较，确定f（x）的最大值与最小值.

典例已知函数f（x）=ln x-ax （a∈R）.（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a>0时，求函数f（x）在＼[1，2＼]上的最小值.

思路分析（1）已知函数解析式求单调区间，实质上是求f′（x）>0，f′（x）<0的解区间，并注意定义域.（2）先研究f（x）在＼[1，2＼]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值.（3）由于解析式中含有参数a，要对参数a进行分类讨论.

解f′（x）=1[]x-a （x>0），

①当a≤0时，f′（x）=1[]x-a>0，即函数f（x）的单调增区间为（0，+∞）.

②当a>0时，令f′（x）=1[]x-a=0，可得x=1[]a，

当00；

当x>1[]a时，f′（x）=1-ax[]x<0，

故函数f（x）的单调递增区间为0，1[]a，

单调递减区间为1[]a+∞.

（2）①当1[]a≤1，即a≥1时，函数f（x）在区间＼[1，2＼]上是减函数，所以f（x）的最小值是f（2）=ln 2-2a.

②当1[]a≥2，即0

③当1<1[]a<2，即1[]2

又f（2）-f（1）=ln 2-a，所以当1[]2

当ln 2≤a<1时，最小值为f（2）=ln 2-2a.

综上可知，当0

当a≥ln 2时，函数f（x）的最小值是ln 2-2a.

结语高三函数性质一直是高三数学学习的重点和难点，是高考中比较偏爱的考查对象.在平时的教学实践过程中，要不断地钻研和学习，提高自身的教学综合素质，从而能够根据高三函数性质的教学目标和学生的学习情况合理地安排教学内容.

【参考文献】

＼[1＼]田玉梅.例谈函数最值问题的解法＼[J＼].试题与研究：新课程论坛，2012（10）：33-34.

＼[2＼]庄中文，张丽莎.中学函数最值问题的学习情况与教学探析——以某县中学高三（1）班为例.教育教学论坛，2011（18）：25-27.