“观察——联想”

薛荣学

观察题目的结构特征，对已有知识、方法、技能等进行联想、回忆，从中选取解题所需要的素材，经过加工整理，以便找到突破口，进而寻找思路进行解题.这是数学解题的一种重要思维方法.

1.观察数式特征，联想概念，探究解题

例1设f（x）=4x[]4x+2，求和式f11001+f21001+…+f10001001的值.

分析观察代数式的数字特征： 11001+10001001=1，21001+9991001=1，…，5001001+5011001=1.从而启发联想，寻求解题思路： f（x）=4x[]4x+2有何结构特点？

因为f（x）+f（1-x）=4x[]4x+2+41-x[]41-x+2=4x[]4x+2+4[]4+2·4x=4x[]4x+2+2[]4x+2=1，

所以，据此可发现“自变量之和为1的二次函数值之和也为1”这一特点.

故原式=f11001+f（10001001）+f21001+f9991001+…+ f5001001+f5011001=1+1+…+1500个=500.

2.观察外形特征，联想性质，转换解题

例2求函数y=x2-12x+72+x2+36的最小值及此时x的值.

分析观察外形，原式可变为（6-x）2+62+x2+62，因此联想复数模并转换用模的性质|Z1|+|Z2|≥|Z1+Z2| 解题.

这样，y=x2-12x+72+x2+36=（6-x）2+62+x2+62.

设Z1=（6-x）+6i，Z2 =x+6i，则y=|Z1|+|Z2| ≥|Z1+Z2|=|6+12i|=65，

故ymin =65，当等号成立时必须6-x=x，从而x=3.

3.观察等式特征，联想公式，对比解题

例3求征：若对常数m和任意的x，f（x+m）=1+f（x）[]1-f（x）成立，则 f（x）是周期函数.

分析 细观等式f（x+m）=1+f（x）[]1-f（x），联想我们熟知的三角函数正切公式tanx+π4=1+tanx[]1-tanx，而tanx的周期是π，恰为π4的4倍，这样联想到f（x）是以4m为周期的函数，故得如下证法.

证明∵f（x+2m）=f＼[（x+m）+m＼]=1+f（x+m）1-f（x+m）=…=-1f（x），

∴f（x+4m）=f＼[（x+2m）+2m＼]=-1f（x+2m）=-1[]f（x）=f（x）.

故f（x）是以4m为周期的周期函数.

4.观察结构特征，联想意义，数形解题

例4求函数y=x2-2x+2+x2-10x+34的最小值.

分析观察函数关系式的结构特征，将式子变形为（x-1）2+12+（x-5）2+32.联想其几何意义，将问题转换为：在x 轴上求一点使到A（1，1）和B（5，3）的距离之和为最小.

解（如图）作点A关于x 轴的对称点A1（1，-1），

连接A1B，则A1B与x 轴交于C（2，0），那么AC+BC=A1B，

显然C就是所求的点，故

ymin=（2-1）2+12+（2-5）2+32=42.

5.观察信息特征，联想反面，逆向解题

例5抛物线y=（ k-2）x2-4kx+2k-6与x轴有两个交点，其中至少有一个在x轴负半轴上，求实数k的取值范围.

分析从题目的已知条件“抛物线与x轴有两个交点”获得信息，应有

k-2≠0，

16k2-4（k-2）（2k-6）>0，这是前提条件.又由“至少有一个交点在x轴负半轴上” 获得信息，它包括：（1）两个交点均在x轴负半轴上；（2）一个交点在x轴负半轴上.这样后面情形需要分类讨论，分别求出k的范围，再取其并集，显然运算量较大.事实上，我们只要细观题目所提供的信息特征，从而“一反常态”，联想到它的反面，进而从反面入手，求其补集，便可大大优化解题程序.

解已知“抛物线与x轴有两个交点”，故必须：k-2≠0，

16k2-4（k-2）（2k-6）>0），

解得k≠2，

k>1或k<-6，

即k<-6，或12.（1）

再从反面出发，由“两交点都不在x轴负半轴上”，得

4kk-2>0，

2k-6k-2≥0，

解得k<0或k>2，

k<2或k≥3，即k<0，或k≥3.

从而满足“至少有一个交点在x轴负半轴上”的k的范围是：0≤k<3.（2）

最后，由（1）（2）求交集，得满足题意的k的范围是：0