线性变换在中学数学解不等式中的应用

胡君嫦

运用变换思想解题方法一直都是中学数学考试对数学解题思想方法考查的一个重要考点和中学生必须掌握的一种数学解题手段，也是中学数学学习的重点和难点.本文将重点归纳总结变换思想在中学数学的具体方面的应用，并运用实例展示变换法的灵活使用.

线性变换是关于变量的一次变换，应用线性变换解决不等式问题，可以使不等式问题化繁为简，化难为易.常见的线性变换的方法有：均值线性变换、增值线性变换、几何线性变换、和差线性变换、比值线性变换、分式线性变换；本文主要讨论前面三种线性变换方法.

1.均值线性变换

在不等式的证明中，若含有多个实数的和等于一个常数，即a1+a2+a3+…+an=k，可引入参数t1，t2，…，tn，使a1=kn+t1，a2=kn+t2，…an=kn+tn，其中t1+t2+…+tn=0.我们把这种变换称为均值线性变换.

例1已知a，b∈R且a+b=1，求证： a+22+b+22≥252.

证明∵a，b∈R且a+b=1，∴设a=12+t，b=12-tt∈R.

则a+22+b+22=12+t+22+12-t+22

=252+2t2≥252，即不等式得证.

小结在中学数学里，均值不等式常用到以下结论：11a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22.

2.增值线性变换

如果不等式中的已知条件存在若干实数，那么可以将各个较大的实数表示成其中an≥an-1≥…≥a2≥a1≥a0最小的数加上某个非负的差数，再代入有关的不等式中进行论证.若，则可令an=a0+tn，an-1=a0+tn-1，…，a2=a0+t2，a1=a0+t1，其中tn≥tn-1≥…≥t2≥t1，并称它们为增量，我们把这种变换称为增量线性变换.

例2若a≥b≥0，求证：2ab-b2+a2-b2≥a.

证明∵a≥b≥0，设a=b+hh≥0，

∴2bb+h-b2+b+h2-b2=b2+2bh+h2+2bh ≥b+h=a，得证.

小结如何利用已知不等式a≥b≥0是证明本题的关键，因为a≥b，a-b≥0，所以设a-b=h（h≥0），a=b+h（h≥0），这样就把已知的不等式关系换成相等关系.

3.几何线性变换

本文主要讨论关于三角形的几何线性变换，如：设a，b，c是三角形的边长，由于

三角形总存在内切圆，可令a=z+y，b=x+z，c=x+y（其中x，y，z∈R），把几何不等式化为代数不等式，这是解几何不等式的常见方法.

例3已知a，b，c是△ABC三边的长，求证：a3b+b3c+c3a≥a2b2+b2c2+c2a2.

证明作△ABC的内切圆，设D，E，F为切点.令

x=AD，y=BD，z=CE（其中x，y，z∈R+），∴a=z+y，b=x+z，c=x+y，则原不

等式化为y2z+z+z2x+x+x2y+y≥2x+2y+2z的形式.

又∵x，y，z∈R+，由均值不等式可得

y2z+z≥2y，z2x+x≥2z，x2y+y≥2x，

∴y2z+z+z2x+x+x2y+y≥2x+2y+2z成立.

故原不等式成立，得证.

小结我们利用几何线性变换把几何不等式化为代数不等式，这是解几何不等式的常见方法.充分利用图形的几何性质，把握数与形的联系，是解决此类问题的关键.