构造函数法在解题中的应用探讨

王艳红

【摘要】构造函数法是高等数学中最常用的分析手段之一，通过构造函数法解答高数中的相关问题，是解题的重要方法，也是学生需要重点熟悉掌握的根本解题方法.本文笔者通过探讨构造函数法在解题中的运用，提出构造函数法在解题过程中的实际应用.

【关键词】构造函数法；解题；应用探讨

高等数学中存在一种非常重要且经常用于解决实际问题的方法——构造函数法，在解题过程中有着广阔的市场和空间，它属于构造法在数学的思想方法中的定义，构造顾名思义就是按照固定的模式，经过已经固定的操作运算步骤达到预期目的的方法.使用构造函数法的时候，往往不是对问题本身进行求解，通过脑海中重新定位组合寻找中间变量，从而转换思路，达到解决问题的效果.该方法具有两个十分鲜明的特征：直观性和可行性，正是由于这两个特征的存在，其才在数学方法运用的市场上有立足之地，经常在解决疑难问题的时候使用该方法，不论是在课题申报还是研究生答辩过程中，经常会考查这样的思维方法.但是由于其相对较为抽象，在理解上有一定难度，是教学和交流中的一大难题，需要不断积累以及一定的天生资质，如何帮助学生掌握这种重要的思想，本文笔者从构造函数法在解题中的应用入手，分析其特点.

一、中值ξ的存在性证明

我们在证明方程的根的存在性的时候，就是确认中值ξ的存在性，找到合适的辅助函数是函数论证的关键.如果这类问题的出现一般都是通过中值的定理去解决，我们在验证的过程中要注意是否满足相关条件.如果题目的假设中仅仅提供了抽象函数连续性的相关条件，或者所给出的方程为某个具体的方程时，我们此时就应该充分考虑是否使用零点定理.将方程的一端通过移项的方法转换为零，函数的另一端便是所要构造的辅助函数，如果在结果中出现含有中值ξ的等式，那么则可以将中值ξ转换成x.例如函数f（x）在＼[0，1＼]区间内为连续函数，且0≤f（x）≤1，通过构造函数的方法证明函数f（x）=x在＼[0，1＼]上至少存在一个实根.通过构造一个辅助函数F（x）=f（x）-X，并且要求F（0）=f（0）≥0，F（1）=f（1）-1≤0.如果在F（0），F（1）中出现了至少一个零，那么在0，1之中必然至少有一个为方程的解.假如F（0）>0而F（1）<0则可以通过零点定理得知，中值ξ在（0，1）之间，使得F（ξ）=0，由此可知函数方程组f（x）=x在＼[0，1＼]内至少存在一个解.所以我们可知方程f（x）=x在＼[0，1＼]上至少有一个实根.对于一个具体方程或者含有中值ξ的等式，如果构造的函数不能够满足零点定理，我们就需要通过改用罗尔定理进行验证.

对于零点定理不能解决的问题我们用罗尔定理继续证明，我们此时进行构造函数的主要方法就是找到原函数，主要步骤如下所示，首先如果需要证明的是含有ξ的等式，那么我们可以先将ξ转换为x，使得题目中所给的等式成为方程；那么我们就可以将函数方程f（x）看成是对未知函数的微积分方程，下一步需要做的就是去解决这个微积分方程；通过计算求出解后，将任意一个常数c移动到函数方程的一端，而函数方程的另一端便是所要构造的辅助函数方程.我们还可以通过观察法解决形式简单的函数方程或者含有ξ的等式.

二、构造函数法在不等式证明中的运用步骤

构造函数在简单方程函数运算时可以通过单调性进行相关证明，对于如f（x）g（x）的不等式函数，我们可以通过简单变换构造辅助函数，即F（x）=f（x）-g（x）或者F（x）=g（x）-f（x），然后用单调递增函数或单调递减函数进行证明.

对于相对复杂的常数不等式以及函数不等式，我们还可以通过拉格朗日定理进行证明，经过恒等变形后，如果一旦出现方程函数的差值与自变量之间之差相比较，一旦符合拉格朗日中值的公式，那么我们就可以用拉格朗日中值定理进行相关证明.与此同时，我们所需要构造的这个函数也可以通过观察法得出相应的结果.

构造函数利用拉格朗日定理证明不等式对于常值不等式或函数不等式，通过恒等变形后，若出现函数差值与自变量之差之比，符合拉格朗日中值公式的形式，则用拉格朗日中值定理证明之.此时，所要构造的函数可以直接观察得出.

构造函数法中有一种重要的方法，就是利用凹凸性来证明不等式函数方程，我们通过构造函数法形成一个辅助函数，利用函数方程中的凹凸定义，从而对不等式进行证明，达到预期的效果.有时候可以构造辅助函数，利用函数凹凸定义，证明某些不等式.

对于那些函数不等式中包含有等号的，可以通过利用函数最大值或最小值来进行相关证明，如果出现函数方程在区间内不发生变号的时候，则不能通过构造函数法利用简单的单调性进行证明，因为如果利用单调性进行证明的时候需要分很多种情况进行讨论，往往会因为粗心大意造成情况的遗漏，相对会比较麻烦.此时我们可以通过函数方程中最值的思想进行证明.

总结

构造函数法在高等数学解题中的应用还有很多，都可以使得很多复杂的问题简单化，除了介绍的应用外还可以进行相关数值的近似计算、求解函数值等.构造函数的方法不胜枚举，需要合理巧妙地运用，具体问题进行具体分析，根据经验构造合适的函数.关于构造函数法的具体相关技巧性，我们需要进一步探讨.

【参考文献】

＼[1＼]郭静莉.构造函数法在高等数学解题中的应用＼[J＼].赤峰学院学报（科学教育版），2011，3（2）：1-2.

＼[2＼]李智.浅谈高等数学解题中构造函数法的应用＼[J＼].科技资讯，2008（16）：204-205.