解三角形的解题思路

岑倩青

【摘要】 三角形有三条边三个角共六个元素，知道其中三个可以求另外三个. 本文对正弦定理和余弦定理的适用范围进行了重新审视，以所知三个元素的边的个数正确选择使用正、余弦定理灵活解三角形，进一步理清解三角形的解题思路.

【关键词】 三角形；正弦定理；余弦定理；思路

三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫作三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形.解三角形常常借助于正弦定理和余弦定理.高考常见的题型，主要是已知三角形的某些元素，求三角形的其他边或角（或角的三角函数值），甚至一些更灵活的应用如求三角形面积或判断三角形形状等.看似简单，但如果对三角形的相关知识没有一个系统的认识，没有掌握其解题思路，要把题解出来，也要费一番周折.

1. 三角形蕴含的信息

一个三角形，三条边三个角，三个内角和为180°（内角和定理），三角形分直角三角形、锐角三角形和钝角三角形（后两者统称为斜三角形），这是非常明显的信息.三角形还蕴含一些潜在的信息，如大边对大角、小边对小角、任意两边之和大于第三边、角的正弦值为正数等，如果解题时没有考虑这些信息，就可能导致解题出错.

2. 巧用定理解三角形

2.1 重新审视正弦定理和余弦定理的适用范围

解三角形需要运用正弦定理和余弦定理灵活解题.如果已知三角形或能判定三角形是直角三角形，用勾股定理解三角形是非常方便的，而勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.所以，实际上，我们把正弦定理和余弦定理结合起来应用，就能很好地解决三角形的问题.

人教版《数学》等现行的大多数教科书对正弦定理的适用范围是这样写的：“已知任意两角和一边，已知两边和其中一边的对角”，对余弦定理的适用范围是这样写的：“已知两边及夹角，已知三条边”.笔者觉得这样的区分既啰唆又不能全面、统一概括正弦定理和余弦定理的适用范围.

要使同学们掌握区分选用正弦定理或余弦定理来解题，笔者以已知边的个数来区分选用正弦定理或余弦定理来解三角形：

① 已知一条边，用正弦定理解三角形；

② 已知兩条边求角，用正弦定理解三角形，求得的角可能有一解、两解或无解；

已知两条边求边，用余弦定理解三角形；

③ 已知三条边（或三边关系式），用余弦定理解三角形.

以已知边区分选择使用定理解三角形，而不考虑角，既方便同学们理解，又易于同学们记忆，比现行教学书的概括要全面而简单实用.据此，许多高考题都可以很快就判断出用正弦定理还是余弦定理解题.

（2005上海春）a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对的边，若∠A = 105°，∠B = 45°，b = 2，则c = .（已知一条边，用正弦定理解题）

（2010湖北理）在△ABC中，a = 15，b = 10，A = 60°，则cosB = （ ）.（已知两条边求角，用正弦定理解题，求出sin B，而cos B = ）

（2009广东文）已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a = c = + 且∠A = 75°，则b = （ ）.（已知两条边求边，用余弦定理解题，利用cos A = ，解得b = 4）

2.2 正弦定理多解的原因

要注意的是，已知两条边求角，用正弦定理解三角形，求得的角可能有一解、两解或无解，其原因是什么呢？

已知a = 6，b = 2，∠A = 60°，求∠B.

作∠A = 60°，在∠A的一边上截取AC，使AC = b = 2，过C作∠A的另一边的垂线CD，垂足为D，则CD是点C到边AB的最短距离.

所以，当a = CD或a ≥ AC时，三角形一解；

当CD < a < AC时，三角形两解；

当a < CD时，三角形无解.

解上题，sin B = = = ，∠B = 30°或∠B = 150°，此时就要根据大边对大角（a > b，∴ A > B）或内角和定理（A + B < 180°），将∠B = 150°舍去，所以∠B = 30°.究其原因就是因为a = 6 > AC = 2，所以只有一解.

3. 判断三角形形状

解有关判断三角形形状的问题，具体思路是化归统一的思想，“统一成纯边或纯角”的问题，即把所给的关系式转换成只含角或只含边的式子后，再进行分析判断，通过角判断时，可以通过sin（A - B） = 0或cos（A - B） = 1，判断三角形为等腰三角形；通过sin（A + B） = 1或cos（A + B） = 0，判断三角形为直角三角形；通过cos C > 0或cos C < 0（C为最大角）判断三角形为锐角三角形或钝角三角形.通过边判断时，可以根据a = b来判断这个三角形是等腰三角形，根据c2 = a2 + b2来判断这个三角形是直角三角形，根据c2 > a2 + b2或c2 < a2 + b2（c为最大边）来判断这个三角形是钝角或锐角三角形.

（2013陕西文）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 若bcos C + c cos B = asin A，则△ABC的形状为 （ ）.

A. 直角三角形 B. 锐角三角形

C. 钝角三角形 D. 不确定

解 ∵ bcos C + ccos B = asin A，

∴ 2Rsin B·cosC + 2Rsin C·cos B = 2RsinA·sin A.

sin（B + C） = sin2A.

∵ sin（B + C） = sin A，

∴ sin A = sin2A.

∴ sin A = 1或sin A = 0（舍去）.

∴ A = 90°.

所以选A.

对于一些更复杂的三角形综合题，可能是正弦定理、余弦定理和三角函数等的综合运用，只要掌握了解三角形的解题思路，解题就会游刃有余.

【参考文献】

中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书《数学5》[M].广东：人民教育出版社，2006.