例谈多元表征在初中数学教学中的意义

郑学军

【摘要】 多元表征是符号表征、语言表征、操作表征、情境表征、图形表征等外在表征形式的综合，多元表征训练在初中数学教学中具有重要的意义. 多元表征有利于学生形成对数学的科学认识，有利于学生构建良好的知识结构，增强学生全面审视问题的能力，并且帮助学生形成最优化的解题策略.

【关键词】 多元表征；初中数学；教学；意义

“表征”有代表、表示和象征等意思. 表征在心理学里是指用某种形式，把事物的特性重新表示出来，它可以是具体的形象或图形，也可以是抽象的语义或者命题. 通常，表征还指提取和理解问题信息的过程.

认知心理学认为：表征在学习知识和理解知识结构的过程中扮演了重要的角色；同时表征也是解决问题和寻求解决方法时所必须经历的过程，问题的有效解决常常依赖于对问题的合理表征，不同的表征可能产生不同的解决方法. 一般来说，表征可分为内在表征和外在表征. 内在表征是指存在于個体头脑里而无法直接观察的心理表征. 外在表征指以语言、文字、图形、符号、具体物、活动或实际情境等形式存在的表征.

多元表征就是指外在表征的多种形式. 一个事物通常具有多重属性特征，它们是客观存在的，却不一定被学习者所全部认识. 数学知识也是以多元的形态存在，并通过不同的表征形式，展现它的属性特征. 有学者（Dreyfus和Eisenberg）指出：任何表征将能够表达部分但不是全部的信息，凸显其中的一些方面而隐藏了另一些. 所以说，单一的表征形式不利于学生对知识的全面理解. 而多元表征，有利于从各个侧面反映事物并综合起来展现整体概貌.

近年来，多元表征在数学认知方面的促进作用成为教育界的研究热点. 本文结合认知心理学理论和课堂教学实际，通过数学实例阐明多元表征在初中数学教学中的意义.

1. 有利于学生形成对数学的科学认识

百度词条对“数学”是这样解释的：数学源自于人类早期的生产活动，数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科. 自从笛卡尔创立了解析几何，代数学和几何学就联系到了一起，从此我们可以用计算证明几何定理，同时也可以用图形来表示抽象的代数方程.

由此我们知道，数学作为一门学科，它具有实用性、整体性和延续性. 然而在教学实践当中发现，常常有学生疑惑学习数学的意义，认为数学过于抽象而脱离生活，对数学知识无法建立前后联系，从而在学习过程中感到枯燥无味，并因此影响了学习的效果.

多元表征学习，使学生以更丰富的视角去看待数学知识，其本身就是一个更加科学的学习方式. 它不仅使学生更加全面地理解知识，而且有利于学生形成对数学的整体认识. 例1 完全平方公式（a + b）2 = a2 + 2ab + b2的多元表征教学

（1）符号表征：利用多项式乘以多项式法则计算.

（a + b）2 = （a + b）（a + b）

= a（a + b） + b（a + b）

= a2 + ab + ba + b2

= a2 + 2ab + b2.

（2）语言表征：概括公式特征——头平方，尾平方，头尾相乘的两倍不要忘.

（3）操作表征：学生分别取几组数值，计算（a + b）2和a2 + 2ab + b2的值，通过比较发现两式的关系.

（4）情境表征：商场新开张，免费派发糖果给前来的小朋友，并且规定：每次有多少个小朋友一起来就会给每个小朋友同样数目的糖果（如6个小朋友一起来，则每个小朋友得到6个糖果）. 现有a个男孩和b个女孩准备去该商场，他们在思考怎样可以得到更多的糖果——男孩女孩一起去，还是男孩女孩分两批过去？引导学生探索两种情况的数量关系.

（5）图形表征：利用图形，研究大正方形面积和里面四个矩形的面积，引导学生探索（a + b）2和a2 + 2ab + b2关系.

如下表所示，我们看到，完全平方公式的多元表征教学在各个表征层面都发挥了一定的作用. 因此，多元表征教学有利于学生科学地、全面地看待数学学科，使学生对数学形成浓厚的学习兴趣，提高数学学习的效果.

2. 有利于学生构建良好的知识结构

学生在表征系统内的联系和转译，是深刻影响学生深度理解数学的重要因素. 在教学中经常进行多元表征训练，就是为了强化学生在表征系统内的联系和转换. 多元表征由于能够很好展现一个数学知识的多个侧面，所以它必然能够成为非常有利于联系前后知识的桥梁. 在教学中使用多元表征，可以使学生比较容易理解数学知识产生的缘由，更容易将新学知识纳入已有的知识结构中，形成稳固的知识体系.

例2 无理数的多元表征教学

（1）语言表征：无限不循环小数；或者，不能写成两个整数之比的数.

（2）符号表征：列举无理数的代表及符号——圆周率π；2的算术平方根，5的立方根；其他无限不循环小数，如-1.01001000100001…，等等.

（3）操作表征：用逼近法计算的值.

∵ 12 = 1，22 = 4，∴1 < < 2.

∵ 1.42 = 1.96，1.52 = 2.25，∴ 1.4 < < 1.5.

∵ 1.412 = 1.9881，1.422 = 2.0164，∴ 1.41 < < 1.42.

∵ 1.4142 = 1.999396，1.4152 = 2.002225，

∴ 1.414 < < 1.415.

……

（4）情境表征：发现无理数的历史故事.

（5）图形表征：在直角三角形中利用勾股定理构造长度是无理数的线段.

在进行“无理数”的教学时，教师通常较多采用语言表征和符号表征，而忽略了其他表征形式的讲解，因此无理数的概念显得抽象费解，学生无法掌握无理数概念的本质特征.

事实上，“用逼近法计算的值”的操作表征能够让学生亲身体验“无限不循环”的含义，对值的大小将有更深切的体会. 同时，通过操作表征，学生探寻“未知”的欲望得到满足，学习数学的兴趣得到激发.

通过讲述“发现无理数的历史故事”，学生了解到无理数的发现经历了曲折的过程，学生认识到当今数学知识的学习乃是建立在众多数学家们不懈努力的基础上，从而学习数学的情感价值观得到更大的提升. 同时，学生在“数”的学习上明确了扩充的线索：自然数——整数——有理数——实数，在数的认知结构上形成了科学牢固的建构.

在直角三角形中利用勾股定理来构造长度是无理数的线段，让学生认识到数学来源于生活，而无理数是实实在在地存在于生活周围的“数”；同时，图形表征很好地沟通了代数和几何的内容，使学生认识到代數与几何的统一性；另外，由于无理数和勾股定理这两个知识有了交叉节点，学生的知识结构将更加牢固.

3. 增强学生全面审视问题的能力

学生在学习或者解题的过程中，通过问题表征来获取信息. 一种表征形式通常只能让学生获得与问题相关的部分信息，不利于学生全面地认识问题，甚至误导学生的学习或者阻碍学生解决问题. 相反，如果经过长期的多元表征训练，学生将会形成全面看待数学问题的习惯，并且善于在各种表征之间灵活转换，从而避免了因表征的缺漏而误判题意.

例3 函数y1 = -x2 + 3x - 4，函数y2 = x - 12，求y1 < y2时x的取值范围.

在教学实践中我们发现，如果学生偏好于代数符号表征，那么学生往往希望通过不等式去解出x的范围（错解如下所示），由于初中还没有学习一元二次不等式的解法，结果费了不少时间却没有得出正确结果.

错解：y1 < y2需有

-x2 + 3x - 4 < x - 12

x2 - 2x > 8

（x - 1）2 > 9

x > 4.

熟悉函数的多元表征的同学，能够迅速把求解问题在符号表征和图形表征之间转换，因此对问题有了更全面的认识：在图像上看，y1 < y2也就是y1处于y2的下方，因此采用计算和图像相结合的办法解决上述问题（如下所示）.

正解：画出函数草图，观察到y1 < y2的区域分别位于两函数交点的外侧，因此求出交点坐标后，可看图得出结论.

y = -x2 + 3x - 4，

y = x - 12.

解得：x = -2，

y = -6，x = 4，

y = 0.

因此：x < -2或x > 4.

例4 已知Rt△ABC， ∠BAC = 90°，AC = AB，D在AC上，E在BA的延长线上，BD = CE， BD的延长线交CE于F，求证：△EBF是直角三角形.

又如例4，教学实践发现，经过多元表征训练的学生因为对“直角三角形”的理解更为全面，能较快地实现问题的转化，把 “求证△EBF是直角三角形”表征为“求证∠E + ∠EBF = 90°”，从而更容易想到证明思路.

4. 帮助学生形成最优化的解题策略

多元表征教学，培养了学生对问题全方位的观察分析能力，使学生在平时的学习中练就了概括、比较、类比等数学思想，元认知监控的能力也相应得到提高，因此学生在面对数学问题时，能够选择最优化的策略去解决问题.

例5 计算： + + + + … + .

学生尝试计算之后发现了困难，然后开始寻求其他解题方法. 有的学生联想到一根木棒，每次砍掉一半，不断砍下去……砍了n次，接着这名学生就想到了答案. 也有的学生尝试用图形来表征题目，如下图所示，然后也很快就找到了答案. 这些学生的解题策略得益于平时的多元表征训练，因此在解题困难时能及时地运用情境表征或图形表征，把问题转化为对具体的事物求解，所以能轻松地找到答案.

例6 计算： + + + … + = .

又如例6，学生如果单纯依靠计算的技能是很难解决这道计算题的，但如果学生平时经常接受多元表征训练，对“”这个数字的思考是比较丰富的，能够采取特别的策略去解题：画出△ABC，设其面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去……利用这一图形，就可以直观地写出结果.

【参考文献】

[1]李静.基于多元表征的初中代数变式教学研究[D].重庆：西南大学，2011.

[2]李静，宋乃庆，刘志扬. 基于多元表征发展代数思维的教学模式研究[J].西南师范大学学报，2011（6）.

[3]百度：http：//baike.baidu.com/subview/1284/13645654.htm？fr=aladdin.

[4]莫雷.教育心理学[M].广州：广东高等教育出版社，2002.