巧用轴对称知识解决实际问题

陈佩山

摘要：本文研究了“轴对称变换法”在求线段和的最小值、求线段差的最大值问题中的应用与意义，并从原理上进行了理论性分析，同时对应用中出现的两种情况——“最大值、最小值问题”进行了分类归纳与总结。

关键词：特殊方法；轴对称知识；解决方法

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711(2014)07-0143

求线段和的最小值和线段差的最大值问题，在初中数学中经常会遇到，利用轴对称知识可以比较简单地解决。下面通过几个典型的例题来说明轴对称知识在解决问题中的作用。

轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。也就是说，在轴对称图形或两个成轴对称的图形中的两个对应点到对称轴上任意一点的距离都相等。

一、利用轴对称性求线段之和的最小值

例1. 如图，草原上两居民点A，B在笔直河流L的同旁，一汽车从A处出发到B处，途中需要到河边加水，问选在何处加水可使行驶的路程最短？并在图中画出这一点。

分析：将这一问题转化为数学问题，即已知直线L及同侧的点A和点B，在L上确定一点C，使AC+BC最小。

首先，我们思考若点A和B点分别在直线L的两侧，则点C的位置应如何确定，根据两点之间线段最短，点C应是AB与直线L的交点，如图(2)，这就是说，设线段AB交L于点C，点C′是直线上异于点C的任意一点，总有AC+BC

解：如图(3)，作点A关于直线L的对称点A′，连接A′B交L于点C，则点C的位置就是汽车加水的位置，即汽车选在点C处可使行驶的路程最短。

思考：若点A和B点分别在直线L的两侧，则点C的位置应如何确定？

解：根据两点之间线段最短，点C应是AB与直线L的交点。

例2：如图所示，在公路L的一侧有两个村庄A、B，现要在公路L旁修建一个车站，问车站应建在什么地方，才能到A，B两村庄的距离之和最短？

分析：利用轴对称的性质，如图，作B点关于L的对称点B1， 在直线L上任意定一点M，连接B B1，BM，B1M，根据轴对称知识，我们可以求证BM=B1M，所以，我们可得出：点B到河岸L上任意点M的距离等于对称B1到点M的距离。

要使AM+ B1M最小，必须使A、M、B1三点共线，也就是说，必须使点M，与A B1连线和L的交点N重合，所以，公路旁的N点为到A、B的距离之和最小的点。

证明：M为L上的任意点。因为BM=B1M，所以，BM+AM=B1M+AM，而B1M+AM大于B1A，所以，结论成立。

例3. 已知在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=8，M、N分别是AB，BC边上的中点，P是对角线AC上一动点，求PM+PN的最小值。

分析：因为动点P在菱形ABCD的对角线AC上，而CD边的中点G，是N关于对称轴AC的对应点。所以，PG=PN。因此求PM+PN的最小值就转化为求PM+PG的最小值，连接MG，在△PMG中，PM+PG的最小值就是MG，即PM+PG≥MG(仅当M、P、G三点共线时取得最小值)。

解：取CD的中点G，连接PG，∵AC是菱形ABCD的对角线。∴∠PCG=∠PCN，又CB=CD，N是BC边的中点 ∴CN=CG。又PC=PC，∴△PCG≌△PCN∴PG=PN，连接MG。∴四边形AMGD为平行四边形。

∴ MG=AD=8。在△PMG中，(仅当P、M、G三点共线时取等号)。故PM+PN的最小值为8。

例4. 如图，正方形ABCD中，点E在边BC上，BE=2，CE=1，点P在BD上，求PE+PC的最小值

分析：要想求PE+PC的最小值，关键是确定点P的位置，根据对称的知识我们知道点P的位置应是，点C关于直线BD的对称点和点E连线与BD的交点。

解：因为四边形ABCD为正方形，所以点C关于BD的对称点为A，连接AE交BD于P点，则此时PE+PC的最小值最小，最小值为：PE+PC=AE= 。

二、利用轴对称性求线段之差的最大值

例5. 已知点A(1，5)，点B(3，-1)两点，在X轴上取一点M，使AM-BM 取得最大值时，则M的坐标为？

解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′并延长与x轴的交点，即为所求的M点。此时AM-BM=AM-B′M=AB′。

证明 ：不妨在x轴上任取一个另一点M′，连接M′A、M′B、M′B。

则M′A-M′B=M′A-M′B′

∴M′A-M′B

∵B′是B(3，-1)关于x轴的对称点，∴B′(3，1)。

设直线AB′解析式为y=kx+b，把A(1，5)和B′(3，1)代入得：

k+b=53k+b=1解得，k=-2b=7

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∴直线AB′解析式为y=-2x+7。令y=0，解得x=3/2

∴M点坐标为(7/2，0)。

例6. 直线L两侧有A、B两点，怎样在直线L上取一点P，使PA-PB最大。

解：如图，过B作B′关于L的对称，连接AB′交L于P，连接AP、BP，此时PA-PB最大。在L上找Q点，连接QA、QB、QB′，QA-QB=QA-QB′

所以总有PA-PB>QA-QB，因此P点是使PA-PB最大的点。

补充：

Q 点如果不与P点重合，那么QB′A总会形成一个三角形，三角形的两边之差总是小于第三边。

所以总有QA-QB

如果点A，B在直线L的异侧，点B′是点B关于直线L的对称点，过A，B′的直线与直线L相交与M，直线L上的点到A,B的距离之差的最大值是线段AB′的长度，取得最大值的点是M。