中考数学“课题学习”类试题的分析与思考

郑宇敏

摘要：“课题学习”作为《数学课程标准》中的一个新生事物，越来越受到各地命题专家的青睐。在本文中，笔者借鉴中考试题中的三个案例，从不同侧面进行分析与探究，旨在抛砖引玉，引领读者在今后的课堂教学中对“课题学习”有一个准确的定位，以便全面落实新课程所倡导的教学目标。

关键词：图形折叠；数学模型；面积分割

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711(2014)07-0086

新课标在“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”这些知识性领域之外，设置了“实践与综合运用”的学习领域，并在第三学段以“课题学习”为主题加以呈现。“课题学习”的基本目标是让学生经历数学学习的完整过程：体验知识之间的内在联系并形成对数学整体性的认识；获得一些研究问题的方法和经验，并发展思维能力；通过克服困难和获得成功的体验增强应用数学的自信心。因此“课题学习”被认为是新课程改革最富有特色的新增内容，不少中考命题将“课题”引入到中考舞台，其中最引人注目的地方是将课题研究放置到压轴题的高度。

仔细翻阅近几年中考数学命题中的“课题学习”型试题，都是以压轴题的内容或形式呈现出课题研究的影子，这绝对是中考命题的新动向，应引起广大师生的高度重视，本文试将各地中考数学命题中所涉及的课题素材压轴题加以分析，以及如何在平时教学中搞好课题学习谈一些认识，希望起到抛砖引玉的效果。

一、百花齐放的“课题学习”型试题

案例1(2009年山西·太原卷)

问题解决：

如图1，将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在边CD上一点E(不与点C、D重合)处，压平后得到折痕MN。

当=时，求的值。

方法指导：

为了求得的值，可先求BN、AM的长，不妨设：AB=2。

类比归纳

在图1中，若=，则的值为；若=，则的值为；若=(n为整数)，则的值为(用含n的式子表示)。

联系拓广：

如图2，将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在边CD上一点E(不与点C、D重合)，压平后得到折痕MN，设=(m>1)，=，则的值为(用含m、n的式子表示)。

评注：该题创设了一个以正方形纸片的折叠为背景的问题，为学生提供了一个动手操作实践的数学环境，让学生在“做数学”的过程中体验知识的形成过程，发现解决问题的思维方法。以此为导航，让学生猜想问题结论的规律，该课题的设计体现了从简单到复杂、从特殊到一般进行不完全归纳的数学思想，更加注重知识形成过程的引领，符合新课程落实“过程性目标”的指导思想，即要求学生能够理解并掌握在正方形中解决问题的思考方法，然后概括出解决问题的思维模式，去类比发现相似问题的解决方案。试题渗透了图形的轴对轴变换思想，以及通过构造方程用代数法处理几何问题的数形结合思想，考查了正方形、矩形、平行四边形的性质及判定、三角形全等的性质及判定、直角三角形的勾股定理及轴对称的性质。

案例2(2010年福建莆田卷)

某课题组在探究“泵站问题”时抽象出数学模型：

直线I同旁有两个定点A、B，在直线I上存在点P，使得PA+PB的值最小。解法：作点A关于直线I的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线I的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B。

请利用上述模型解决下列问题：

(1)几何运用：如图1，等腰直角三角形ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为 。

(2)几何拓展：如图2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN的值最小，求这个最小值。

(3)代数应用：求代数式+(0≤x≤4)的最小值。

评注：本题是一道以实际问题建模的应用题，试题一开始就给出一个在课本出现的实际问题，但命题者引导学生运用解决思想问题的常见方法——建立数学模型(模型拓展)、从特殊到一般地分析问题，让学生通过观察、分析、比较、联想、归纳类比、概括、模拟等方法解决问题，帮助学生完成模仿到创造的思维过程，符合中学生的认知规律。

通过做此题，让学生明白面对一个全新的问题，应如何利用已有的知识去解决；面对一个复杂的问题，应如何将其转化为简单的问题去处理；面对一个抽象的问题，应如何将其转化为形象具体的问题去解答，即将陌生问题熟悉化、隐形问题明朗化、抽象问题具体化、复杂问题简单化，这就是命题者的初衷。

案例3(2010年陕西卷)

问题探究：

(1)试在图1中作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分。

(2)如图2，点M是矩形ABCD内一定点，试在图2中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分。

(3)如图3，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发用地示意图，其中DC//OB，OB=6，BC=4，CD=4，开发区综合服务管理委员会(其占地面积不计)设在点P(4，2)处。为了方便驻区单位，准备过点P修一条笔直的道路(路的宽度不计)，并且使这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分。你认为直线l是否存在？若存在，求出直线的表达式；若不存在，试说明理由。

评注：该命题的“问题探究”让学生通过画图操作探究发现，等分矩形面积的直线必须过矩形的对称中心，而且矩形的每一条对角线所在的直线都是平分矩形面积的直线，而且这两条直线都通过交点，这点正好是矩形的对称中心，由此拓展到过矩形对称中心的任意一条直线都可以把矩形分成面积相等的两部分。对于“问题解决”中的梯形，可以通过作高将其转化为矩形和三角形。

(如图4，过点D作D′A⊥OB，垂足为点A)，而直线l所通过的点P(4，2)正好是矩形ABCD的对称中心，因此，直线l只要平分△AOD的面积即可。这样可以利用一次函数的知识，用待定系数法确定直线l的k值。整个问题的设计循序渐进，以画图操作为基础，引领学生发现平分中心对称图形面积的直线应满足的必要条件，然后让学生在实际问题的探究中进行拓广应用，符合辩证唯物主义“实践——认识——再实践——再认识”事物的规律，其中渗透了类比化归、数形结合、方程函数思想。

二、感情与启示

研究意识与能力已成为人的一项基本素质，也是衡量人才水平的一个重要指标，故肩负着考查学生此项能力重任之一的“课题式”压轴题越来越显示出其重要作用，已成为中考数学压轴题中的一朵奇葩，必将是命题者进行探究的新课题。近几年中考数学试卷中的“课题学习”型题所考查的侧重点是不同的。从数学能力角度看，考查过探究性质、数学建模、化归和推理、论证与能力。从数学思想方法的角度看，考查过数形结合、类比、归纳概括、数学模型和转化(化归)等数学思想方法。从试题的结构看，百花齐放，不拘一格，活泼新颖。但也有美中不足之处：有些题难度过大，越过绝大多数学生的实际水平，通过率太低，考试的可区分性受到影响。

在我们当前的教学中，有部分教师只是照本宣科地多讲知识结论，对人们发现知识和形成知识的过程，以及获得知识和解决问题的方法却很少涉及。新课标强调教师给予学生的不仅仅是知识本身，更重要的是要教给学生发现知识和创造知识的过程，帮助学生掌握学习方法，特别是终身学习的方法和解决问题的策略，作为教师要把培养学生主动获得知识、创造性获得知识作为职业目标。

参考文献：

[1] 胡松.例说“课题学习”的教学实施[J].中学数学教学参考，2010(8).

[2] 王铮.“课题学习”的案例设计与探究[J].试题研究，2010(3).

[3] 潘小梅.以赛促研，提升教师专业素养[J].中国数学教育（初中版），2010(11).