指数因素分析法的初步探究

姚金江 颜廷法

摘 要：首先以传统指数因素分析法存在的不合理的地方引起质疑，然后对改良此处的共变影响因素分析理论进行了论证与评价，最后提出了函数分配法，并将其运用到实际生活中与传统的分析方法相比较。函数分配法的理论基础与计算过程相对来说比较合理、简洁，并且在实际生活的应用中发现它的计算结果符合实际情况，在一定程度上解决了传统方法的缺陷。

关键词：因素分析法；共变影响因素；函数分配法

因素分析法，是利用统计指数体系分析现象总变动中各个因素影响程度的统计学领域的一种分析方法，又被称为指数因素分析法，它包括连环替代法、定基替代法、差额分析法、指标分解法。指数因素分析法是现代统计学中一种非常重要且实用的方法，它是多元统计分析的一个重要分支。使用这种方法能够帮助研究者将几组数据几个变量间在时间的纬度上进行分析，分析的结果能够将事物的性质、状态以及特点用少数能表示事物内在联系的、固有的、决定事物本质特征的因素。在保持原有信息量的前提下，使用指数因素分析法可以使复杂的数据简单化。

一、指数的编制

指数理论中的一个核心问题是如何编制统计总指数，它也是能否正确反映社会经济现象总变动的一个基本前提。总指数种类很多，但个性中体现着共性。以下是几个共同的需要注意的问题。

（1）合理选择同度量因素。如上所述，总指数是用来反映不能直接对比，不能直接相加的多种现象总动态。要将不能直接对比、不能直接相加的多种现象转化为一种可以对比、可以相加的现象，这种转化需要借助于同度量因素来进行。

（2）质量指标总指数的编制。指数的概念是从商品的价格的变动中产生的。下面用商品价格总指数为例阐述质量指标总指数的编制。

以下为编制商品价格总指数加权综合法：

[方法一]以某一固定期销售量为同度量因素：Ip=■。（n代表某固定期）

[方法二]以报告期销售量为同度量因素：Ip=■。（Pacsche式）

[方法三]以基期销售量为同度量因素：Ip=■。（Laspeyres式）

若在采用加权综合法计算总指数的条件不完全具备时，需要采用加权平均法。

（3）质量指标总指数的编制。

以下是数量指标总指数加权综合法：

[方法一]以某一固定期价格为同度量因素：Iq=■。（n代表某固定期）

[方法二]以报告期价格为同度量因素：Iq=■。（Pacsche式）

[方法三]以基期价格为同度量因素：Iq=■。 （Laspeyres式）

若掌握的数据资料不适合于采用加权综合法计算数量指标总数时，则需采用加权平均法。

二、指数体系及因素分析

（1）指数的体系和因素分析的关系。一些社会经济现象的数值变动的解释，常取决于两个或多个因素的共同作用。由于各种因素变动的原因不同，就使得各种因素向不同的方向、程度变动着，从而对复杂的社会经济现象的变动产生不同的影响。在这种情况下，可编制相互联系的若干指数，组成指数体系。应用统计指数分析现象的总变动时，是从社会经济现象的内在联系出发的。可见，指数体系是由总变动指数和因素变动指数两类指数组成的。

指数体系与因素分析之间存在着密切的关系，即前者是后者的依据。

（2）总量指标指数的两因素分析。因素分析的内容主要包括两个方面：分别是从相对数和绝对数方面来看的，因此，指数体系可表示为相对数形式：■=■×■。绝对数分析：？撞p■q■-？撞p■q■=（？撞p■q■-？撞p0q■）+？撞p■q1-？撞p■q■。

三、指数因素分析法的探索及其应用

（1）函数分配法。定义：已知实数域上的连续函数y=f（m1，m2，…mn），e=min（e1，e2，…en）。根据函数f的构造，要度量mi在y中所起作用的大小，故将y分解为： y=■yi=■kif（m1，m2，…mn），k1+k2+…+kn=1。

定义：yi=kif（m1，m2，…mn）为自变量m1在函数y中所起的作用，并称之为y对m1的函数分配。已知y=f（m1，m2，…mn），求ki。

假设1（函数分配在加法上的累积性假设） ：已知函数y=m1+m2+…+mn，y对m1，m2，…mn的函数分配分别为y1，y2，…yn。那么yi=■y，即ki=■。特别地，当m1=m2=…=mn时，有y1=y2=…=yn=■y。

假设2（函数分配在乘法上的均匀性假设）： 已知函数y=m1，m2，…mn，y对m1，m2，…mn的函数分配分别为y1，y2，…yn，则当m1=m2=…=mn时，有y1=y2=…=yn=■y。

结论：函数y=m1，m2，…mn，y=m1，m2，…mn？缀Q。y对m1，m2，…mn的函数分配分别为y1=y2=…=yn，则y1=y2=…=yn=■y。

证：由于对于任意的有理数mi，总存在一个足够小的正数？着i，使得■=ki（ki？缀z），因此我们取？着=min（？着1，？着2，…？着n），则mi对？着的商都为整数，记■=li（li？缀Z）即mi=？着eli，将其带入y=m1+m2+…+mn得y=l1l2…ln？着n。

可见函数y可以被分解为l1l2…ln个n维空间的小球？着n，记其中任意一个小球为q=z1，z2，…zn （z1=z2=…=zn=？着），根据假设2，当z1=z2=…=zn =？着时，q对任意一个自变量zi的函数分配都为qi=■=■，由于y=l1l2…lnq，其中l1l2…ln为常数，因此y对mi的函数分配就是l1l2…ln倍的q对zi的函数分配，yi=l1l2…lnq=l1l2…ln■=■。

证明完毕。

（2）函数分配法在指数因素分析中的应用。例1：表1是我国2010年和2011年我国出口主要货物数量和金额的有关数据，根据以下数据建构指数体系，利用函数分配法分别分析价格和销售量的变动对销售额的影响。

解：由以上得到的公式：fx=■？驻y？驻x+y？驻x，fy=■？驻x？驻y+x？驻y，运

用到模型？撞■=？撞■+？撞■中，可得fp=■？驻q？驻p+q0？驻p，fq=■？驻p？驻q+p0？驻q。

由以上数据（表2略）表明，函数分配法有明显的优势，因为在该题目中派氏指数[2][3][7]的模型得出的结果在绝对量上夸大了价格因素，缩减了数量因素；而拉氏指数的模型得出的结果在绝对量上夸大了数量因素，缩减了价格因素；函数分配法中，其物价和销售量产生影响的绝对数分别为205564403.5和-40438840.5，相对数分别为25.5%和-5.0%。我们可以看到，通过函数分配法的计算得到的结果正好介于这两者之间。并且在计算的环节非常简便快捷，精确度高，减少了误差，符合指数分析的发展趋势。

四、总结及讨论

统计指数因素分析方法最早的理论基础是由拉氏物价指数和派氏物量指数所构成的指数体系，它在各种社会经济现象变动因素分析中发挥了极其重要的作用。虽然该理论存在一定的缺陷，但是在众多优秀国内外专家、学者的研究探索下，该理论得到一定程度的完善。目前，出现了很多有影响的改进理论，如理想指数理论、函数指数理论、共变影响因素理论和共变影响分配理论等。这些理论和设想在一定程度上克服了传统因素分析理论的缺陷，但只是片面地对问题进行了转嫁，使数学理论与社会生活实际分析相脱离，造成公式的无意义化，都没能从根本上解决这个问题。

参考文献：

[1]赵建明.关于统计指数编制方法的因素分析法[J].鹭江职业大

学学报，2000（4）.

[2]帕尔科夫斯.指数理论与经济现实[M].北京：中国统计出版社，

2004.

[3]朱建平，孙小素.应用统计学[M].北京：清华大学出版社，2009.

（1. 山东郯城小埠岭初级中学，2.山东临沂大学理学院）

（项目资助：山东省自然基金，ZR2011FL017，大学生创新创业项目：201310452011）