如何在解中考题时“拨开乌云见明月”

徐亚飞

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）10-0130-01

面对题型众多的中考试题，我们往往眼花缭乱，给人无法下手的感觉。殊不知很多情况下，许多题目都是换汤不换药，只要能静下心来，我们都可以从复杂多变的题型中找到基本题型。在这里仅探讨复杂图形中存在的直角三角形的判定。直角三角形是比较特殊的基本图形，它的边和角都具有特殊的性质，如边的关系（勾股定理）、角的关系（两锐角互余）、边角关系（锐角三角函数）等，因而直角三角形在初中数学中占有举足轻重的地位。如何来判定一个三角形是否为直角三角形呢？在初中阶段，涉及的判定方法有很多种。如：①三角形中有两角互余；②勾股定义的逆定理；③三角形一边上中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形；④等腰三角形的三线合一；⑤相似（和一个已知的直角三角形）；⑥垂径定理；⑦切线的性质……，这几年南通市对这个考点的考查度越来越高了。下面我就罗列了南通市近两年中考中，涉及到直角三角形（垂直）的一些题目，供大家参考。

例1（2011·南通·第8题）：如图，⊙O的弦AB=8，M是AB的中点，且OM=3，则⊙O的半径等于【 】

A.8 B.4 C.10 D.5

本题需利用垂径定理，证得OM⊥AB，进而由勾股定理得解。

例2（2012·南通·第22题）：如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB、CD的上方，求AB和CD间的距离。

本题考查的实际上还是垂径定理的应用，仍然是构造直角三角形来解决，类似于2011南通市的第8题，但本题是解答题，故要注意书写格式，尤其是辅助线的作法。这里介绍一种作法：连接OA、OC，过点O作OE⊥AB，延长OE交CD于F。∵AB∥CD，∴OF⊥CD。在这里OF⊥CD不是通过辅助线作出来的，而是在前面辅助线作法的基础上，证明得到的，相信这种方法大家在平时解题时，一定遇到过不少。

其实，本题还是比较简单的。如果出题者没有给出如图所示的图形，那么本题的难度系数将会上升一个档次，要考虑AB、CD位于原点的两侧，解题思路不变。

例3（2011·南通·第26题）：如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、OD到点F、E，使OF=2OA，OE=2OD，连接EF.将△EOF绕点O逆时针旋转a角得到△E1OF1（如图2）。

（1）探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明；

（2）当a=30°时，求证：△AOE1为直角三角形。

第二问就是直接证明△AOE1为直角三角形。题目中能直接用的条件只有∠AOE1=60°及OE1=2OA，在中考閱卷的时候发现很多同学由OE1=2OA，直接得出∠AE1O=30°，进而推出了E1A⊥AO，显然掉进了出题者所设的陷阱。

那该如何证明呢？首先我们把复杂图形简单化，把△AOE1单独提炼出来，图形清晰了，思路也就更容易出来了。这也是我们处理复杂几何图形常用的方法之一。

方法有很多种。这里介绍几种常见的方法：

方法一：取OE1的中点G，连接AG。∵OE1=2OA，∴OG=OA。又∠AOE1=60°，则有等边△AGO，∴GA=GO=GE1，∴E1A⊥OA。

方法二：过点A作AH⊥OE1于H。在RT△AHO中，∠O=60°，∴∠HAO=30°，∴OA=2OH，又OE1=2OA，即■=■，又∠O=∠O，∴△AE1O∽△HAO，∴∠E1AO=∠AHO，即E1A⊥OA。

方法三：延长OA到点M，使AM=OA，连接ME1。∵OE1=2OA，∴OE1=OM，又∠AOE1=60°，∴等边△E1MO。由三线合一，可得E1A⊥OA。

本题还有很多其他方法，在此不再一一赘述。有意思的是，2012年南通市中考试卷的第26题也考到了类似的知识点，可见该知识点的重要性。

例4（2012·南通·第26题）：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上。

（1）如图1，若E是BC的中点，∠AEF=60°，求证：BE=DF；

（2）如图2，若∠EAF=60°，求证：△AEF是等边三角形。

对于第一问，是一道可以从多角度来思考的题目，我们有多种思路去证明BE=DF，如：可通过△ABE≌△ADF来证明（可从这个角度来思考，但不一定可行）；或证CE=CF，即通过证等腰△CEF来解决；亦可证F是CD的中点。对于多条路在我们面前，我们该如何来解决呢？这也是学生在解题时常常遇到的问题。这时，我们可改变解题思路，由从结论出发，转变成从条件出发，即从“执果索因”转变成“由因导果”。

方法一：由条件可知：∠B=60°，且BA=BC，所以可以连接AC构造等边△ABC，由E是BC中点，可得：AE⊥BC（三线合一），进而可得∠FEC=30°，又∠C=120°，所以△CEF为等腰三角形，CE=CF，∴BE=DF。

方法二：因为BE=■BC=■AB，又∠B=60°，所有可以猜想到∠BAE=30°，即AE⊥BC，但这种证法的易错点就是：不能由BE= =■AB，直接证得∠BAE=30°。如果从这个角度来考虑，不就和2011年南通市数学中考试卷第26题的第二问一样了吗？

对于第一问，我虽然给出了两种证明方法，我们细细推究，不难发现，这两种方法实质上是一样的，都是从∠B=60°出发，构造等边三角形，最终的目标都是要证到AE⊥BC，进而解决问题。所以本题看似求证两条线段相等，实质上还离不开证直角三角形。当然本题肯定还有其他解法，在此不一一展开说明。

通过对南通市近两年中考试卷的研究，我们不难发现，判定一个三角形是直角三角形（或线段互相垂直）是近几年中考考点中的一个热点，但是我们只要能抓住题目的本质，相信大家在解题时，定能拨开乌云见明月。