MCMC方法在跳扩散Shibor模型参数模拟中的应用

郑晓鸳

【摘要】Shibor利率逐渐成为许多金融衍生产品定价基础，本文在连续扩散模型基础上建立了跳扩散shibor利率模型，在前人研究基础上采用CKLS-SV-Jump模型来刻画shibor利率的波动情况。介绍并分析了MCMC参数模拟方法，并用MCMC方法和OPENBugs软件对CKLS-SV-Jump模型进行参数模拟，最终得出模型参数，为以后研究shibor利率衍生产品定价做准备。

【关键词】shibor 跳扩散模型 MCMC

一、引言

Shibor是央行稳步推进利率市场化改革，提高金融机构自主定价能力，指导货币市场产品定价，完善货币政策传导机制而培育的中国货币市场基准利率体系。自2007年央行推出shibor利率后，在央行进8年的积极培育下，已基本确立了shibor利率在我国货币市场的基准利率地位，并逐渐成为传导货币政策、反映市场利率变动的重要指标，并在市场化利率形成机制中发挥重要作用。同时，市场上发展和创新了一大批以Shibor为基准金融产品。大量债券交易、存款、贷款、贴现和理财类产品定价逐步与Shibor挂钩。目前，金融机构市场成员交易层面已有部分金融产品定价与Shibor相挂钩：衍生品市场利率互换、远期利率协议；货币市场同业借款、同业存款、货币互换、理财产品等；债券市场以Shibor为基准浮动利率金融债券、企业债券、企业短期融资券，以Shibor为基准的票据转贴现、票据回购等；以Shibor为定价及交易基准的金融产品越来越多，如债券买卖、票据贴现、个人及机构理财产品，最终，银行存贷款利率定价也与Shibor相挂钩。

因此，随着越来越多地的产品与Shibor挂钩，我们应积极培育我国商业银行金融衍生产品的自我定价能力，让Shibor真正在我国金融自由化和利率市场化改革进程中起到货币政策利率传导的主导与核心作用。以Shibor为标的的金融衍生产品定价问题成为越来越多学者的研究对象。要做到这一点，我们首先要研究Sbibor及其本身的利率期限结构，对其进行利率建模，从而能够有效刻画出其利率期限结构动态变化的特征，进而对利率的未来变动进行科学的预测，这样不管是对以Shibor为标的的金融衍生产品定价，还是利率市场化条件下以Shibor作为货币市场基准利率风向标的金融风险管理都起着极其重要的作用。

二、shibor利率模型的选择

由于金融市场兴起较早而且比较完善，国外在利率方面的研究已经发展到了相当高的水平。在利率动态模型方面，单因素利率模型主要有Merton（1973）、Vasicek（1997）、CIR（Cox，Ingersoll和Ross）（1985）、和CKLS（Chan，Karolyi，Longstaff和Sanders）（1992）等。其中，CKLS模型为不同的利率期限结构建立了一个共同框架利率模型，单其利率模型只描述了利率漂移项的均值回复特性与利率扩散项的水平效应。Merton（1976）在标准布朗运动中加入跳跃因素来对金融市场中存在的不连续动态变化进行描述。随后也有国外学者，如Das（2002），Chen&Scott（2002）等人为在模型中加入随机波动率更贴近现实，包含了更多的利率资产波动率时变特征。

回顾传统的利率模型，我们知道它们都假设利率服从连续扩散过程。但是大量的实证研究表明，现实情况中利率经常会出现突然的跳跃和巨幅的震荡，与传统假设相违背。Das把Vasieck模型扩展到跳跃扩散模型，并通过实证表明跳跃过程能捕捉连续模型无法解释的利率特征，认为加入随机波动了更贴近现实。Jarrow等发现跳跃行为能很好地解释“波动率微笑”之谜。Ahn和Thompson认为利率的样本轨迹存在非连续性特征，由此提出了利率期限结构的跳跃扩散模型。Johannes提出了一个关于跳跃行为的统计检验量，并发现三个月的短期国债利率存在显著的跳跃行为。因此，我们可以这样认为：在shibor利率模型中加入跳跃项能够更好地刻画和解释实际中的利率波动情况。

（五）MH随机游走采样法

如果M-H算法中的建议函数q（x，x'）满足1、对称性q（x，x'）=q（x'，x）；2、q（x，x'）仅与x'-x有关，即q（x，x'）=q（|x'-x|），那么算法就演变为通常意义下的随机游动采样法。最常见的一种随机游动采样法以正态分布，即q（x'-x）=φ（x'-x）为建议函数。

这里是任意一种多维正态分布的密度函数，也就是说x'～N（x，Σ）。其中，x为当前状态值，Σ是任意的正定矩阵。在实际计算中，由于要求Σ是正定矩阵，所以常取为Σ=σI，σ是一个参数。这时候，如何选取建议函数的方差σ是影响算法效率的主要因素。对于一维情况，就是要选择一个合适的σ值，而对于多维情况，我们需要确定给一个合适的正定方差矩阵Σ。一般认为在模拟多维正态随机数时，如果调整σ的值使得在整个模拟过程中建议被接受的比例为20%左右，则将得到比较好的模拟效果。

随机游动采样法是M-H算法中较为常用的一种形式，们已经看到对于随机游动采样法而言，如何选择建议函数的方差成为影响算法效率的主要因素，对于一维情况，就是要选择一个合适的σ值；而对于d>1的多维情况，我们需要一个合适的正定方差矩阵Σ。在选择σ的过程中，根据关于采用多维正态作为提议函数的随机游动采样法的一些理论结果，一般认为如果目标分布是d维的且各分量之间独立，则调整接受概率到0.234左右将最大限度地优化随机游动采样法的效率，并且接受概率0.234与目标分布的具体形式无关。

基于这样的想法，我们尝试构造一种自适应算法来寻找合适的提议函数的方差。大致的思想是让接受比率落入一个可以接受的范围内，比如区间[a-ε，a+ε]。以一维的情况为例，先给定一个初值σ0，用这个值产生一条链，来估计接受比率P0。若P0在给定的区间[a-ε，a+ε]中，则符合要求，算法停止；反之，则以为中心做一次随机游动，得到一个σ1，再计算P1是否满足要求，以此类推，直至找到合适的σ值。具体实现步骤如下：

（三）数据选择

（四）参数估计结果

本文利用OpenBUGS软件来实现Gibbs抽样，从而完成MCMC参数估计。该软件是国外研究Gibbs采样和Bayesian推理的研究人员写的工具包软件，是在WinBUGS软件基础上发展起来的。OpenBUGS软件能给出参数的Gibbs抽样动态图，用平滑方法得到后验分布的核密度估计图、抽样值的自相关图以及均值和置信区间的变化图等，使抽样结果更直观明了。

五、结论

本文以MCMC方法为基础，模拟了CKLS-SV-Jump模型。在后续研究中，将以该模型为基础，来研究以shibor利率为基础的产品定价问题。但由于时间和篇幅限制，暂未对模型有效性以及其是否能有效模拟市场数据进行检验，所以在接下来研究中，也将以此作为研究内容之一。